控制中的LMI/頁面/H2磁碟區域

具有最小$H_{2}$增益的不敏感磁碟區域設計

除了針對具有最小$H_{2}$增益的不敏感條帶區域的設計之外，另一種此類設計是不敏感磁碟區域設計。在本節中，將提供最佳化問題，以確保滿足不敏感磁碟區域設計的條件，並對閉環系統的$H_{2}$增益設定一些界限。

系統

如下所示線性系統的狀態空間表示

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}}$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$y\in \mathbb {R} ^{m}$和$u\in \mathbb {R} ^{r}$分別是系統狀態、輸出和輸入向量。$\rho$表示連續時間系統的微分運算，或離散時間情況下的單步前移運算元。

資料

為了解決設計最佳化問題，需要線性系統矩陣A、B、C。此外，為了在特徵值空間上定義磁碟區域，需要其半徑$\gamma _{0}$。

最佳化問題

設計一個$H_{2}$最優控制器，使閉環系統對某個磁碟區域不敏感，涉及兩個子問題

• 找到一個控制增益$K$，使得：$\left\|K\right\|_{2}<\gamma$。
• 閉環系統的不敏感磁碟區域設計條件，如不敏感磁碟區域設計一節中所述，已得到滿足。
• 最佳化目標是最小化$\gamma$，使得上述兩點成立。

LMI： $H_{2}$對不敏感磁碟區域的最佳控制設計

上述問題只有在以下最佳化問題有解的情況下才有解$(K,\gamma )$

${\begin{aligned}{\text{min }}&\gamma \\{\text{s.t. }}&{\begin{bmatrix}-\gamma I&K\\K^{\top }&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-\gamma _{0}I&A+BKC+qI\\(A+BKC+qI)^{\top }&-\gamma _{0}I\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

透過使用此處提供的設計問題，設計了一個最優的$H_{2}$控制器，使閉環系統對系統矩陣中的擾動具有魯棒性。

實現

為了解決這裡提出的包含LMI的最佳化問題，需要使用YALMIP工具箱來建立可行性問題，並使用SeDuMi來求解問題。以下連結展示了可行性問題的一個例子

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/H2_Disk_example.m

相關LMI

不敏感圓盤區域設計

外部連結

記錄和驗證LMI的一系列參考文獻。

• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 由段廣仁和餘海華著，CRC出版社，泰勒與弗朗西斯集團，2013年，第10.1.2節，第323-325頁。