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H₂ 索引推匯出的 LMI

儘管有一些方法可以評估 H₂ 的上限，但可以透過推匯出的條件來驗證 H₂ 增益的界限。

系統

我們考慮具有 $(A,B,C,D)$ 狀態空間實現的廣義連續時間 LTI 系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$、$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分別是系統狀態、輸出和輸入向量。
此類系統的傳遞函式可以計算為

${\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}$

資料

系統矩陣 $A,B,C$ 是已知的。

最佳化問題

對於任意 $\gamma >0$（給定標量），傳遞函式滿足

$\left\|C(sI-A)^{-1}B+D\right\|_{2}<\gamma$

傳遞函式上的H₂ 範數條件僅在矩陣 A 穩定時成立。這可以方便地轉換為 LMI 問題

當且僅當 1. 存在一個對稱矩陣 $X>0$ 使得
$AX+XA^{T}+BB^{T}<0$，$trace(CXC^{T})<\gamma ^{2}$

2. 存在一個對稱矩陣 $Y>0$ 使得
$AY+YA^{T}+C^{T}C<0$, $trace(B^{T}YB)<\gamma ^{2}$

LMI - H2 範數推導條件

這些推導條件可以從上面的方程中得到。根據

對於任意 $\gamma >0$（給定標量），傳遞函式滿足

$\left\|G(s)\right\|_{2}<\gamma$

當且僅當存在對稱矩陣 $Z$ 和 $P$；以及一個矩陣 $V$ 使得
$trace(Z)<\gamma ^{2}$
${\begin{bmatrix}-Z&B^{T}\\B&-P\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$
${\begin{bmatrix}-(V+V^{T})&V^{T}A^{T}+P&V^{T}C^{T}&V^{T}\\AV+P&-P&0&0\\CV&0&-I&0\\V&0&0&-P\end{bmatrix}}$${\begin{aligned}<0\end{aligned}}$

上面的 LMI 可以結合二分法來找到最小值 $\gamma$ 來找到 $G(s)$ 的 H₂ 增益的最小上限。

結論

如果上述 LMI 有可行解，那麼 $\gamma$ 將對系統 G(s) 的範數進行上限約束。

實現

為了解決可行性 LMI，需要使用 YALMIP 工具箱來設定問題，還需要使用 SeDuMi 或 MOSEK 來解決問題。以下連結展示了問題的示例

https://github.com/yashgvd/ygovada

相關 LMI

有界實部引理
推匯出的用於 H 無限範數指標的 LMI

外部連結

文件化和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• [1] - 控制系統分析、設計和應用中的 LMI
• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。