控制中的LMI/pages/H 穩定

$\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 穩定

存在各種各樣的控制設計問題，這些問題以各種不同的方式解決。最重要的控制設計問題之一是狀態反饋穩定問題。一種這樣的狀態反饋問題，也是本文的重點，是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 穩定，一種 $\mathbb {D}$ - 穩定，其中實部位於複平面左側。

系統

對於這個特定問題，假設我們給定一個線性系統，形式為

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,\\\end{aligned}}

其中 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 。那麼，確定 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ - 穩定情況的LMI將按以下描述獲得。

為了獲得LMI，我們需要以下2個矩陣： $A{\text{ and }}B$ .

假設 - 對於上面給定的線性系統 - 我們被要求設計一個狀態反饋控制律，其中 $u=Kx$ 使得閉環系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+BK)x\\\end{aligned}}

是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ 穩定的，那麼系統將按如下方式穩定。

從給定的資訊中可以看出，最佳化問題只有在存在矩陣 $W$ 和一個對稱矩陣 $P>0$ 滿足以下條件時，才存在解。

{\begin{aligned}{\begin{cases}AP+P{A^{T}}+BW+{W^{T}}{B^{T}}+2{\alpha }P&<0\\-AP-P{A^{T}}-BW-{W^{T}}{B^{T}}-2{\beta }P&<0\end{cases}}\end{aligned}}

給定所得控制器矩陣 $K=WX^{-1}$ ，可以觀察到該矩陣是 $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$ -穩定的。

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。