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$\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定化

有各種各樣的控制設計問題，它們以各種不同的方式得到解決。最主要的控制設計問題之一就是狀態反饋穩定化問題。其中一個狀態反饋問題，也是本文的重點，就是$\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定化，它是一種$\mathbb {D}$-穩定化，其中閉環極點位於複平面的左半部分。

系統

對於這個問題，假設我們給出了一個線性系統，形式如下：

${\begin{aligned}\rho x&=Ax+Bu,\\\end{aligned}}$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$u\in \mathbb {R} ^{r}$，並且$\rho$代表微分運算元（在連續時間情況下）或單步前向運算元（在離散時間系統情況下）。然後，用於確定$\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定化情況的LMI將如以下所述獲得。

資料

為了獲得LMI，我們需要以下兩個矩陣：$A{\text{ and }}B$.

最佳化問題

假設 - 對於上面給出的線性系統 - 我們被要求設計一個狀態反饋控制律，其中$u=Kx$，使得閉環系統

${\begin{aligned}\rho x&=(A+BK)x\\\end{aligned}}$

如果系統是 $\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定的，則系統可以按如下方式穩定。

LMI： $\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定化

從給定的資訊可以看出，只有當存在矩陣 $W$ 和一個對稱矩陣 $P$ 滿足以下條件時，最佳化問題才存在解。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&qP+AP+BW\\qP+PA^{T}+{W^{T}}{B^{T}}&&-rP\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

結論

給定得到的控制器矩陣 $K=WP^{-1}$，可以觀察到該矩陣是 $\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定的。

實現

• 示例程式碼 - 一個GitHub連結，其中包含程式碼（名為“DStability.m”），演示瞭如何使用MATLAB-YALMIP實現此LMI。

相關LMI

• H穩定化 - $\mathbb {H} _{(\alpha ,\beta )}$-穩定化的等效LMI。
• 連續時間D穩定控制器 - 使用D穩定性推導控制器的LMI。
• 連續時間D穩定觀測器 - 使用D穩定性推導觀測器的LMI。

外部連結

記錄和驗證LMI的參考文獻列表。

• 最優與魯棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet關於控制中LMI的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的LMI性質與應用 - Ryan Caverly和James Forbes編寫的LMI列表。
• 系統與控制理論中的LMI - Stephen Boyd編寫的可下載書籍，介紹了LMI。
• 控制系統中的LMI：分析、設計與應用 - 由段廣仁和於海華合著的書籍。