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連續時間D穩定控制器

在一些控制問題中，人們仍然對設計一個控制器感興趣，該控制器可以將極點定位在複平面的特定區域，同時確保控制器穩定。一種可以實現此目標的方法稱為D穩定性。

系統

假設我們給出了一個連續時間系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其穩定性尚不清楚，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$. 然後，可以透過控制器 $u(t)=Kx(t)$ 來實現同時穩定上述系統並確保極點位於其所需位置的控制器。

資料

為了正確定義複平面上極點的可接受區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A$, $B$, $C$, $D$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 超調百分比 ($M_{p}$)

有了這些資訊，我們就可以開始構建最佳化問題。

最佳化問題

利用以上資料，我們可以定義最佳化問題。為了實現這一點，我們首先需要使用以下不等式約束定義複平面上極點可以落入的允許區域。

上升時間: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是複數極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這使我們能夠修改不等式約束，如下所示：

上升時間: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅使我們能夠映射覆數極點位置和不等式約束之間的關係，而且還使我們能夠輕鬆地為這個問題構建 LMI。

LMI： 連續時間控制器 D 穩定性

牢記以上不等式，我們觀察到以下內容：

假設現在存在一個對稱矩陣 $P>0$ 和矩陣 $Z$，我們現在可以使用以下 LMI 來確定控制器：

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

結論

給定結果控制器 $K=ZP^{-1}$，我們現在可以確定 $A+BK$ 的極點位置 $z\in \mathbb {C}$ 滿足不等式約束 $|x|{\leq }r$， $Re(x){\leq }-{\alpha }$ 以及 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

實現

• 示例程式碼 - 一個 GitHub 連結，其中包含程式碼（名為“ControllerDStability.m”），演示瞭如何使用 MATLAB-YALMIP 實現此 LMI。

相關 LMI

• 連續時間 D 穩定性觀測器 - 針對連續時間觀測器的等效 D 穩定性 LMI。
• D 穩定化 - 用於 $\mathbb {D} _{(q,r)}$ 穩定化的 LMI。

外部連結

• 最優魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於 LMI 在控制中的課程。
• LMI 屬性及其在系統、穩定性和控制理論中的應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯關於 LMI 的列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 史蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。