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連續時間D穩定觀測器

類似於D穩定控制器，也存在一些控制問題，人們希望設計一個D穩定觀測器，其極點位於複平面的特定區域，同時確保其穩定性。

系統

假設我們得到了一個連續時間系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其穩定性未知，其中$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 以及$D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何$t\in \mathbb {R}$。然後，透過控制器$u(t)=Ly(t)$可以實現同時穩定上述系統並確保極點位於其所需位置的控制器。

資料

為了正確定義複平面上極點的可接受區域，我們需要以下資料

• 矩陣$A$和$C$
• 上升時間($t_{r}$)
• 穩定時間($t_{s}$)
• 過沖百分比($M_{p}$)

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。為此，我們必須首先使用以下不等式約束來定義複平面上極點可以位於的可接受區域

上升時間：$\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間：$\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

過沖百分比：$\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設$z$是復極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這使得我們可以修改我們的不等式約束為

上升時間：$z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間：${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

過沖百分比：$z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅使我們能夠映射覆極點位置和不等式約束之間的關係，而且現在也使我們能夠輕鬆地為這個問題制定LMI。

LMI：連續時間觀測器D穩定性

牢記以上不等式，我們觀察到以下內容

假設現在存在一個對稱矩陣$P>0$和矩陣$Z$，我們現在可以確定觀測器的以下LMI

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&(PA+ZC)^{T}\\PA+ZC&&-rP\end{bmatrix}}&<0\\(PA+ZC)^{T}+PA+ZC+2\alpha P&<0,and\\{\begin{bmatrix}(PA+ZC)^{T}+PA+ZC&&c((PA+ZC)^{T}-(PA+ZC))\\c((PA+ZC)-(PA+ZC)^{T})&&(PA+ZC)^{T}+(PA+ZC)\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

結論

給定得到的觀測器$L=P^{-1}Z$，我們現在可以確定$A+LC$的極點位置$z\in \mathbb {C}$滿足不等式約束$|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$。

實現

• 示例程式碼 - 一個 GitHub 連結，其中包含程式碼（標題為“ObserverDStability.m”），演示瞭如何使用 MATLAB-YALMIP 實現此 LMI。

相關 LMI

• 連續時間 D-穩定控制器 - 連續時間控制器的等效 D-穩定性 LMI。
• D 穩定 - 用於$\mathbb {D} _{(q,r)}$-穩定的 LMI。

外部連結

• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特教授關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗裡和詹姆斯·福布斯編制的一份 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德撰寫的一本關於 LMI 的可下載書籍。