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最佳化中的可行性問題 LMI

可行性問題是在不考慮目標值的情況下找到最佳化問題的任何可行解。這個問題可以被視為最佳化問題的特例，其中所有可行解的目標值都是相同的。許多最佳化問題必須從所有可能解範圍內的一個可行點開始。一種方法是在問題中新增一個鬆弛變數，以放寬可行性條件。透過新增鬆弛變數，任何起點都將成為可行解。然後，最佳化問題被轉換為找到鬆弛變數的最小值，直到滿足可行性。

系統

假設我們有兩個矩陣如下

${\begin{aligned}A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$

${\begin{aligned}B(x)=B_{0}+B_{1}x_{1}+...+B_{n}x_{n}\quad i=1,2,...,n\end{aligned}}$

它們是變數 $x=[x_{1}\quad x_{2}\quad ...\quad x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的矩陣函式。

資料

假設矩陣 ${\begin{aligned}A_{0},A_{1},...,A_{n}\quad \end{aligned}}$ 和 ${\begin{aligned}B_{0},B_{1},...,B_{n}\quad \end{aligned}}$ 是給定的。

最佳化問題

最佳化問題是找到變數 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 使得以下約束得到滿足

${\begin{aligned}A(x)<B(x)\end{aligned}}$

LMI：可行性問題的 LMI

透過新增一個鬆弛變數 $t$，可以將此最佳化問題轉換為標準 LMI 問題。

此問題的數學描述是，以以下 LMI 公式形式最小化 $t$

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad t\\&{\text{s.t.}}\quad A(x)<B(x)+tI\\\end{aligned}}$

結論

在這個問題中，$x$ 和 $t$ 是 LMI 問題的決策變數。

因此，這些變數在最佳化問題中被確定，使得 $t$ 的最小值在滿足不等式約束的情況下被找到。

實施

Github 倉庫中此問題的 Matlab 程式碼連結

https://github.com/asalimil/LMI-for-Feasibility-Problem-of-Convex-Optimization

相關 LMI

線性規劃的 LMI

外部連結

• [1] - 控制系統分析、設計與應用中的 LMI

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