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用於廣義特徵值問題的 LMI

從技術上講，廣義特徵值問題考慮兩個矩陣，例如 $A$ 和 $B$ ，以找到廣義特徵向量， $x$ ，和特徵值， $\lambda$ ，滿足 $Ax=\lambda Bx$ 。如果矩陣 $B$ 是具有適當維度的單位矩陣，則廣義特徵值問題簡化為特徵值問題。

系統

假設我們有三個矩陣函式，它們是變數 $x=[x_{1}\quad x_{2}\quad ...\quad x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的函式，如下所示

$A(x)=A_{0}+A_{1}x_{1}+...+A_{n}x_{n}$

$B(x)=B_{0}+B_{1}x_{1}+...+B_{n}x_{n}$

$C(x)=C_{0}+C_{1}x_{1}+...+C_{n}x_{n}$

其中 $A_{i}$ ， $B_{i}$ ，和 $C_{i}$ ( $i=1,2,...,n$ ) 是係數矩陣。

矩陣函式 $A(x)$ ， $B(x)$ 和 $C(x)$ 是適當維度的矩陣函式，它們都關於變數 $x$ 線性，並且 $A_{i}$ ， $B_{i}$ ， $C_{i}$ 是給定的矩陣係數。

問題是找到 ${\begin{aligned}x=[x_{1}\quad x_{2}...x_{n}]\end{aligned}}$ 使得

$A(x)<\lambda B(x)$ ， $B(x)>0$ ，以及 $C(x)<0$ 都滿足，其中 $\lambda$ 是一個標量變數。

廣義特徵值問題的 LMI 公式的數學描述可以寫成如下形式：

${\begin{aligned}&{\text{min}}\quad \lambda \\&{\text{s.t.}}\quad A(x)<\lambda B(x)\\&\quad \quad B(x)>0\\&\quad \quad C(x)<0\end{aligned}}$

該 LMI 問題的解是變數 $x$ 的值，使得標量引數 $\lambda$ 被最小化。在實際應用中，許多涉及 LMI 的問題可以用上述形式表達。在這些情況下，目標是最小化參與問題約束的標量引數。

GitHub 儲存庫中此問題的 Matlab 程式碼連結