控制中的 LMI / 頁面 / 用於 Schur 穩定的 LMI

系統

我們考慮以下系統

${\begin{aligned}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\end{aligned}}$

其中 ${\begin{aligned}x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{and}}u\in \mathbb {R} ^{r}\end{aligned}}$ ，分別是狀態向量和輸入向量。此外，狀態反饋控制律定義如下

${\begin{aligned}u(k)=Kx(k)\end{aligned}}$

因此，閉環系統由下式給出

${\begin{aligned}x(k+1)=(A+BK)x(k)\end{aligned}}$

{\begin{aligned}{\text{Given matrices}}\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{,}}\quad B\in \mathbb {R} ^{n\times r}\quad {\text{, and the scalar}}\quad 0<\gamma \leq 1.\end{aligned}}

找到一個矩陣 ${\begin{aligned}K\in \mathbb {R} ^{r\times n}\end{aligned}}$ 使得

${\begin{aligned}||A+BK||_{2}<\gamma \end{aligned}}$

根據矩陣譜範數的定義，這個條件等價於

${\begin{aligned}(A+BK)^{T}(A+BK)<\gamma ^{2}I\end{aligned}}$

可以使用[1]第14頁的引理1.2，上述不等式可以轉化為

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

LMI 公式的標題和數學描述。

{\begin{aligned}{\text{min}}\;\quad \gamma :&\\{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-\gamma I&(A+BK)\\(A+BK)^{T}&-\gamma I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

這個問題是密集圓盤區域設計的一個特例（[1] 中第 230 頁）。即使系統可穩定，這個問題也可能沒有解。換句話說，一旦存在解，解就是魯棒的，因為當存在引數擾動時，閉環系統的特徵值不容易超出單位圓內的圓形區域 [1]。

Github 倉庫中此問題的 Matlab 程式碼連結

記錄和驗證 LMI 的參考資料列表。