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透過H2控制的LQ調節

假設人們對二次最優調節問題感興趣，其中不是使用Ricatti方程方法（傳統上在這種情況下使用），而是使用LMI來解決問題（從而使其成為線性二次（LQ）問題）。可以透過將LQ問題轉換為標準的${H2}$問題來實現這種方法。

系統

例如，考慮以下形式的常數線性多變數系統：

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bu,x(0)={x_{0}},\\\end{aligned}}$

其中

${\begin{aligned}&x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}u\in \mathbb {R} ^{r}{\text{ are the state and input vectors, respectively, and }}\\&A{\text{ and }}B{\text{ are the system coefficient matrices of appropriate dimensions,}}\\\end{aligned}}$

然後，針對給定系統，LQ最優調節問題如下所述。

資料

為了獲得LMI，我們需要以下3個矩陣：$A$, $B$, $Q$, 和 $R$（後兩個矩陣的獲得方式如下）。

最佳化問題

使用如上所述的多變數系統，我們可以看到，最優狀態反饋控制器 $u=Kx$ 可以在以下情況下獲得：

${\begin{aligned}J(x,u)&=\int _{0}^{\infty }({x^{T}}Qx+{u^{T}}Ru)\mathrm {d} t\\\end{aligned}}$

當 $Q={Q^{T}}{\geq }0$ 且 $R={R^{T}}{\geq }0$ 時，問題被最小化。然而，需要注意的是，為了使問題有解，需要做出兩個假設，這兩個假設必須始終成立。

$1)\quad (A,B){\text{ is stabilizable, and}}$

$2)\quad (A,L){\text{ is observable, where }}L={Q^{1/2}}$.

將此與 ${H_{2}}$ 效能聯絡起來，現在考慮輔助系統。

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=Ax+Bu+{x_{0}}\omega \\y&=Cx+Du\\\end{cases}}\end{aligned}}$,

其中 $\omega$ 代表脈衝擾動，並且

${\begin{aligned}C={\begin{bmatrix}{Q^{1/2}}\\0\end{bmatrix}}&&D={\begin{bmatrix}0\\{R^{1/2}}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

使用狀態反饋控制器 $u=Kx$ 並將其應用於上述輔助系統，得到閉環系統

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}&=(A+BK)x+{x_{0}}\omega \\y&=(C+DK)x\\\end{cases}}\end{aligned}}$,

以及從擾動 $\omega$ 到輸出 $y$ 的傳遞函式為

${\begin{aligned}{G_{y\omega }}=(C+DK)[sI-(A+BK)]^{-1}{x_{0}}\end{aligned}}$

從而導致 $J(x,u)=||{G_{y\omega }}||_{2}^{2}$.

LMI: 基於 H2 控制的 LQ 調節

根據給定的資訊，並假設上述兩個假設成立，則存在矩陣 $X\in \mathbb {S} ^{n}$, $Y\in \mathbb {S} ^{r}$ 和 $W\in \mathbb {R} ^{rxn}$ 滿足

${\begin{aligned}(AX+BW)+{(AX+BW)^{T}}+{x_{0}}{x_{0}^{T}}&<0\\trace({Q^{1/2}}X({Q^{1/2}})^{T})+trace(Y)&<\gamma \\{\begin{bmatrix}-Y&&{R^{1/2}}W\\({R^{1/2}}W)^{T}&&-X\end{bmatrix}}&<0\end{aligned}}$

結論

從 LMI 可以看出，存在形式為 $u=Kx$ 的狀態反饋控制（其中 $K=WX^{-1}$）使得 $J(x,u)<\gamma$ 當且僅當矩陣 $X{\text{, }}Y{\text{, and }}W$ 具有適當的矩陣大小。

實現

• 示例程式碼 - 一個 GitHub 連結，包含程式碼（名為“LQRegH2.m”），演示瞭如何使用 MATLAB-YALMIP 實現此 LMI。

相關 LMI

• 用於系統 H2 範數的 LMI - 用於確定 $H_{2}$-範數的 LMI。

外部連結

一個文件化和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特關於 LMI 控制的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯編寫的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 史蒂芬·博伊德編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 由段廣仁和於海華合著的一本書。