控制中的 LMI/頁面/非凸多準則二次問題

控制中的 LMI/頁面/非凸多準則二次問題

非凸多準則二次線性矩陣不等式將允許人們為基於多個不同準則（在 Q 和 R 矩陣中定義）的非凸狀態空間系統形成一個最佳化的控制器，類似於 LQR 框架中的控制器，這些準則作為任意成本函式的一部分進行最佳化。就像傳統的 LQR 一樣，成本矩陣必須以類似於傳統控制中的傳統增益的方式進行調整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直觀，因為每個增益都直接與狀態或輸入相關聯。

系統

此 LMI 的系統是一個線性時不變系統，可以用狀態空間表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\\end{aligned}}$

假設該系統是可控的。

其中 $x\in R^{n}$ 表示狀態向量，$w\in R^{p}$ 是擾動向量，$A,B$ 是適當維度的系統矩陣。為了進一步定義：$x$ 是 $\in R^{n}$ 且是狀態向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 且是狀態矩陣，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 且是輸入矩陣，$w$ 是 $\in R^{r}$ 且是外生輸入。

對於任何輸入，我們定義一個集合 $p+1$ 成本指標 $J_{0},...,J_{P}$ 透過

${\begin{aligned}J_{i}(u)=\int _{0}^{\infty }{\begin{bmatrix}x^{T}&u^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}dt,\\i=0,...,p\end{aligned}}$

這裡對稱矩陣，

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}},i=0,...,p\end{aligned}}$,

不一定是正定的。

資料

矩陣 $A,B,C$.

最佳化問題

約束最優控制問題是

${\begin{aligned}\max :J_{0},\\\end{aligned}}$

受制於

${\begin{aligned}J_{i}\leq \gamma _{i},i=1,...,p,x\rightarrow 0,t\rightarrow \infty \end{aligned}}$

LMI： 非凸多準則二次問題

此問題的解決方案如下：首先定義

${\begin{aligned}Q=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i},\\C=C_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}C_{i},\\\end{aligned}}$

其中 $\tau _{i}\geq 0$ 且對於每個 $\tau _{i}$，我們定義

${\begin{aligned}S=J_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}J_{i}-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

那麼，解可以由以下公式求得：

${\begin{aligned}\max :x(0)^{T}Px(0)-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

受制於

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+Q&PQ+C^{T}\\B^{T}P+C&R\end{bmatrix}}&\geq 0\\\tau _{i}&\geq 0\end{aligned}}$

結論

如果解存在，那麼 $K$ 是最優控制器，可以透過 P 的 EVP 求解。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相關 LMI

1. 多目標 LQG
2. 最優控制的逆問題
3. 非凸多目標二次問題
4. 靜態狀態反饋問題

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的 LMI 控制課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。