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正實引理

正實引理是 Kalman-Popov-Yakubovich (KYP) 引理的一個變體。正實引理可用於確定系統是否為被動 (正實)。

系統

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

矩陣 $A,B,C,D$ 是已知的。

假設 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是該系統。那麼，以下是等價的。

1)\quad G\;{\text{is passive, i.e.}}\;\left\langle u,Gu\right\rangle _{L_{2}}\geq 0\;({\hat {G}}(s)+{\hat {G}}(s)^{*}\geq 0)

2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB-C^{T}\\B^{T}X-C&-D^{T}-D\end{bmatrix}}\leq 0

正實引理可以用來判斷系統 $G$ 是否是無源的。從 LMI 的 (1,1) 塊中我們可以知道 $A$ 是 Hurwitz 矩陣。

列出一些文件和驗證 LMI 的參考資料。