控制中的LMI/pages/二次D穩定化

連續時間D穩定控制器

此LMI允許您根據系統性能（如上升時間、穩定時間和超調百分比）將極點放置在特定位置，同時確保系統的穩定性。

系統

假設我們給出了連續時間系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其穩定性未知，其中 $A\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 對於任何 $t\in \mathbb {R}$.

向系統新增不確定性

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B+B_{i})u(t)\\\end{aligned}}$

資料

為了正確定義複平面上可接受的極點區域，我們需要以下資料

• 矩陣 $A$, $B$, $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升時間 ($t_{r}$)
• 穩定時間 ($t_{s}$)
• 超調百分比 ($M_{p}$)

擁有這些資訊將有助於我們制定最佳化問題。

最佳化問題

使用上面給出的資料，我們現在可以定義我們的最佳化問題。為了做到這一點，我們必須首先使用以下不等式約束來定義複平面上可接受的極點區域

上升時間: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

穩定時間: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超調百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假設 $z$ 是復極點位置，那麼

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

這使得我們可以修改我們的不等式約束，如下所示

上升時間: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

穩定時間: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超調百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

這不僅使我們能夠映射覆極點位置和不等式約束之間的關係，而且還使我們能夠輕鬆地為這個問題制定 LMI。

LMI: 二次 D 穩定化的 LMI

假設存在 $X>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&AP+BZ\\(AP+BZ)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\\AP+BZ+(AP+BZ)^{T}+A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AP+BZ+(AP+BZ)^{T}&&c(AP+BZ-(AP+BZ)^{T})\\c((AP+BZ)^{T}-(AP+BZ))&&AP+BZ+(AP+BZ)^{T}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

for $i=1,...,k$

結論

給定得到的控制器 $K=ZP^{-1}$，我們現在可以確定 $A(\Delta )+B(\Delta )K$ 的極點位置 $z\in \mathbb {C}$ 滿足不等式約束 $|x|{\leq }r$，$Re(x){\leq }-{\alpha }$ 和 $z+z^{*}{\leq }-c|z-z^{*}|$，對於所有 $\,\Delta \,\in \,C_{0}(\Delta _{1},...,\Delta _{k})$

實現

這個 LMI 的實現需要 Yalmip 和 Sedumi https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticDstabilization.m

相關 LMI

• 連續時間 D 穩定觀測器 - 連續時間觀測器的等效 D 穩定 LMI。

外部連結

• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯關於 LMI 的列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。