控制中的LMI/頁面/二次多面體穩定

二次多面體穩定控制器綜合可以使用此LMI完成，需要有關$A$,$\Delta _{A(t)}$ ,$B$ 和$\Delta _{B(t)}$ 矩陣的資訊。

系統

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何$t\in \mathbb {R}$。
該系統包含以下形式的不確定性

${\begin{aligned}\Delta _{A(t)}=A_{1}\delta _{1}(t)+....+A_{k}\delta _{k}(t)\\\Delta _{B(t)}=B_{1}\delta _{1}(t)+....+B_{k}\delta _{k}(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$,$u\in \mathbb {R} ^{n}$,$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$ 以及 $B\in \mathbb {R} ^{mxn}$

資料

這個 LMI 所需的矩陣是 $A$,$\Delta _{A(t)}\,ie\,A_{i}$ ，$B$ 以及 $\Delta _{B(t)}\,ie\,B_{i}$

最佳化和 LMI：使用多面體二次穩定性定理的控制器綜合 LMI

存在一個 K 使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+\Delta _{A}+(B+\Delta _{B})K)x(t)\\\end{aligned}}$

對於 $(\Delta _{A},\Delta _{B})\in C_{0}((A_{1},B_{2}),...,(A_{k},B_{k}))$ 是二次穩定的，當且僅當存在一個 P>0 和 Z 使得

${\begin{aligned}(A+A_{i})P+P(A+A_{i})^{T}+(B+B_{i})Z+Z^{T}(B+B_{i})^{T}<0\quad for\quad i=1,...k.\end{aligned}}$

結論

控制器增益矩陣提取為 $K=ZP^{-1}$
注意，這裡的控制器不依賴於 $\Delta$

• 如果你希望 K 依賴於 $\Delta$ ，問題就更難了。
• 但這將需要即時感知 $\Delta$ 。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/quadraticpolytopicstabilization.m

相關 LMI

二次多面體 $H_{\infty }$ 控制器
二次多面體 $H_{2}$ 控制器

外部連結

• 最優與魯棒控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 編寫的關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 性質和應用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 由 Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。