控制中的 LMI/頁面/魯棒 H 無窮大 狀態反饋控制

魯棒全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ 控制

加性不確定性

全狀態反饋是一種控制技術，它將給定系統的閉環系統極點置於由所需效能規範指定的位置。可以使用 $H_{\infty }$ 方法將此轉換為最佳化問題，目標是最大程度地減少閉環系統中不確定擾動的影響，同時保持系統穩定性。這是透過最小化 $H_{\infty }$ 不確定閉環系統的範數來完成的，這最大程度地減少了系統擾動或擾動的最壞情況影響。這可以針對單輸入單輸出 (SISO) 或多輸入多輸出 (MIMO) 系統完成。這裡我們考慮具有加性不確定性的 MIMO 系統的情況。

系統

考慮以下具有不確定性的線性系統

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A+{\Delta }A)&(B_{1}+{\Delta }B_{1})&B_{2}\\C&D_{1}&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\\w\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態，$z(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是輸出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是外生輸入或擾動向量，以及 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是執行器輸入或控制向量，在任何 $t\in \mathbb {R}$

${\Delta }A$ 和 ${\Delta }B_{1}$ 是實值矩陣，表示以下形式的時間變化引數不確定性

${\begin{bmatrix}{\Delta }A&{\Delta }B_{1}\end{bmatrix}}=HF{\begin{bmatrix}E_{1}&E_{2}\end{bmatrix}}$

其中

$H,E_{1},E_{2}$ 是已知矩陣，具有適當的維數，而 $F$ 是滿足以下條件的不確定引數矩陣：$F^{T}F\leq I$

對於加性擾動：${\Delta }A={\delta }_{1}A_{1}+{\delta }_{2}A_{2}+...+{\delta }_{k}A_{k}$

其中

$A_{i},i=1,2,...k$ 是已知的系統矩陣，並且

${\delta }_{i},i=1,2,...k$ 是滿足 $\vert {\delta }_{i}\vert <r_{i},i=1,2,...,k$ 的擾動引數

因此，${\Delta }A=HFE$ 其中

$H={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&...&A_{k}\end{bmatrix}}$

$E=(\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2})^{1/2}$

$F=(\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2})^{-1/2}{\begin{bmatrix}{\delta }_{1}I\\{\delta }_{2}I\\\vdots \\{\delta }_{k}I\end{bmatrix}}$

資料

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C$，$D_{1}$，$D_{2}$，$E_{1}$，$E_{2}$，${\gamma }$ 是已知的。

LMI: 全狀態反饋最優 $H_{\infty }$ 控制LMI

存在 $X>0$ 和 $W$ 以及標量 ${\alpha }$ 使得

${\begin{bmatrix}{\Psi }(X,W)&B_{2}&(CX+D_{1}W)^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-{\gamma }I&D_{2}^{T}&0\\CX+D_{1}W&D_{2}&-{\gamma }I&0\\E_{1}X+E_{2}W&0&0&-{\alpha }I\end{bmatrix}}<0$.

其中 ${\Psi }(X,W)=(AX+B_{1}W)_{s}+{\alpha }HH^{T}$

然後 $K=WX^{-1}$.

結論

一旦從上面的最佳化 LMI 中找到 K，就可以將其代入狀態反饋控制律 $u(t)=Kx(t)$ 以找到如以下所示的穩健穩定的閉環系統

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A+{\Delta }A)+(B_{1}+{\Delta }B_{1})K&B_{2}\\(C+D_{1})K&D_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\end{bmatrix}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ 是狀態，$z(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 是輸出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ 是外源輸入或擾動向量，而 $u(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 是執行器輸入或控制向量，在任何 $t\in \mathbb {R}$

最後，系統的傳遞函式表示如下

$G_{zw}(s)=(C+D_{1}K)(sI-[(A+{\Delta }A)+(B_{1}+{\Delta }B_{1})K])^{-1}B_{2}+D_{2}$

實施

此實施需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/rubindan/LMIcontrol/blob/master/HinfFilter.m

相關 LMI

全狀態反饋最優 H_inf LMI

外部連結

• 最優控制和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於 LMI 在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 關於 LMI 的可下載書籍。
• 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用 - 由段廣仁和餘海華著，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集團，2013 年。

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控制中的 LMI： https://wikibook.tw/wiki/LMIs_in_Control