控制中的 LMI/pages/mixedhinfh2desiredpole

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器，帶所需極點位置

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 輸出反饋控制已被認為是多目標最優控制問題的一個例子。在這個問題中，控制反饋應該對幾個規範做出適當的響應。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中， $H_{\infty }$ 通道用於提高設計的魯棒性，而 $H_{2}$ 通道保證了系統的良好效能，並且使用附加約束將極點置於所需位置。

系統

我們考慮線性系統的以下狀態空間表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}w\\z_{\infty }&=C_{\infty }+D_{\infty 1}u+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=C_{2}x+D_{21}u\end{aligned}}$

其中

$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $z_{2},z_{\infty }\in \mathbb {R} ^{m}$ 分別是狀態向量和輸出向量

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ ， $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 是擾動向量和控制向量

$A$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{\infty }$ , $C_{2}$ , $D_{\infty 1}$ , $D_{\infty 2}$ , and $D_{21}$ 是適當維數的系統係數矩陣

資料

我們假設工廠的四個矩陣， $A$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ , $C_{\infty }$ , $C_{2}$ , $D_{\infty 1}$ , $D_{\infty 2}$ , 和 $D_{21}$ 是給定的。

最佳化問題

對於具有以下反饋律的系統
$u=Kx$
可以得到閉環系統
${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+B_{1}K)x+B_{2}w\\z_{\infty }&=(C_{\infty }+D_{\infty 1}K)x+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=(C_{2}+D_{21}K)u\end{aligned}}$

傳遞函式矩陣為 $G_{z\infty w}(s)$ 和 $G_{z2w}(s)$
因此，系統的 $H_{\infty }$ 效能和 $H_{2}$ 效能要求分別為
$||G_{z\infty w}(s)||_{\infty }<\gamma _{\infty }$
和
$||G_{z2w}(s)||_{2}<\gamma _{2}$
. 為了系統響應效能，引入閉環特徵值位置要求。令
$D={s|s\in C,L+sM+sM^{T}<0},$
它是複平面上一個區域，用來約束閉環特徵值的位置。因此，設計了一個狀態反饋控制律，使得

滿足 $H_{\infty }$ 效能和 $H_{2}$ 效能。
閉環特徵值都位於 $D$ 中，即

$\,\,\,\,\,$ $\lambda (A+B_{1}K)\subset D$ .

LMI：混合 $H_{2}$ / $H_{\infty }$ 以及期望極點位置的 LMI

如果存在兩個對稱矩陣 $X,Z$ 和一個矩陣 $W$ ，滿足以上討論的最佳化問題，則該最佳化問題存在解。

min $c_{2}\gamma _{2}^{2}+c_{\infty }\gamma _{\infty }$
s.t
${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{\infty }X+D_{\infty 1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{\infty }I&D_{\infty 2}^{T}\\C_{\infty }X+D_{\infty 1}W&D_{\infty 2}&-\gamma _{\infty }I\\\end{bmatrix}}<0\\&AX+B_{1}W+(AX+B_{1}W)^{T}+B_{2}B_{2}^{T}<0\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X+D_{21}W\\(C_{2}X+D_{21}W)^{T}&-X\\\end{bmatrix}}>0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{2}^{2}\\&L\otimes +M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0\\\end{aligned}}$