控制中的 LMI/pages/二階系統的穩定性

控制中的 LMI/pages/二階系統的穩定性

穩定性是控制領域中一個非常重要的概念，對於二階系統來說也不例外。二階系統可以用質量-彈簧-阻尼器模型最簡單地概念化。速度和位置當然被選為該系統的狀態，狀態空間模型可以寫成如下所示。在這種情況下，穩定性的目標是設計一個控制律，該控制律由兩個控制器增益矩陣組成 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$, $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$。這些允許構建一個穩定的閉環控制器。

系統

在這裡，我們想要穩定以下形式的二階系統

${\begin{aligned}M{\ddot {x}}+D{\dot {x}}+Kx&=Bu,\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分別是狀態向量和控制向量，M（稱為“質量矩陣”）、D（稱為“結構阻尼矩陣”）、K（稱為“剛度矩陣”）和 B 是相應維度的系統係數矩陣。

為了使系統遵循標準約定，我們將系統重新表述為

${\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+A_{1}{\dot {x}}+A_{0}x&=Bu\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x,\end{aligned}}$

其中：$x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分別是狀態向量和控制向量；$y_{d}\in R^{m_{d}}$ 和 $y_{p}\in R^{m_{p}}$ 分別是導數輸出向量和比例輸出向量；而 $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},$ 和 $C_{p}$ 是相應維度的系統係數矩陣。請注意，$A_{2}$ 必須是 $>0$，並且 $A_{0},A_{2}$ 必須是 $\in S^{n}$.

To further define: $x$ is$\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$, $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$, and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$.

$\in R^{n}$

資料

矩陣 $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},C_{p}$.

最佳化問題

對於所描述的系統，我們選擇以下控制律

${\begin{aligned}u&=K_{p}y_{p}+K_{d}y_{d}\\&=K_{p}C_{p}{\hat {x}}+K_{d}C_{d}x,\end{aligned}}$

其中 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$，$K_{d}\in R^{r*m_{d}}$，我們得到閉環系統如下

${\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+(A_{1}-BK_{p}C_{p}){\dot {x}}+(A_{0}-BK_{d}C_{d})x&=0.\\\end{aligned}}$

我們的任務是設計一個狀態反饋控制律，使上述系統成為赫爾維茨穩定。

首先，為了解決這個問題，我們需要引入一個引理。此引理來自“控制系統中的 LMI” 的附錄 A.6，由 段廣仁 和 於海華 撰寫。該引理指出：

${\begin{aligned}A_{2}>0,A_{1}+A_{1}^{T}>0,A_{0}>0\\\end{aligned}}$

LMI： 二階系統的穩定性

如果存在矩陣 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$ 和 $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$ 滿足以下 LMI，則存在解

${\begin{aligned}A_{0}-BK_{d}C_{d}>0,\end{aligned}}$

和

${\begin{aligned}(A_{1}-BK_{p}C_{p})+(A_{1}-BK_{p}C_{p})^{T}>0.\end{aligned}}$

結論

最後，在解決 LMI 後，最佳化將產生兩個矩陣，$K_{p}$ 和 $K_{d}$，可以代入系統，作為

${\begin{aligned}u&=K_{p}C_{p}{\dot {x}}+K_{d}C_{d}x\end{aligned}}$

以獲得穩定化的二階系統。

實現

此實現需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/stab2ndorder.m

相關 LMI

二階系統的魯棒穩定性

外部連結

此 LMI 來自

• [1] - “控制系統中的 LMI：分析、設計和應用”，作者為 段廣仁 和 於海華。

其他資源

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - 馬修·皮特的關於 LMI 在控制中的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - 萊恩·卡弗裡和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系統與控制理論中的 LMI - 斯蒂芬·博伊德關於 LMI 的可下載書籍。

參考文獻

Duan, G. (2013). 控制系統中的 LMI：分析、設計和應用。Boca Raton：CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集團。