控制中的 LMI/pages/systemzeroswithfeedthrough

假設我們有一個傳遞函式，定義為兩個多項式的比率：${\begin{aligned}H(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}\\\end{aligned}}$ 零點是 N(s)（傳遞函式的分子）的根，透過設定 $N(s)=0$ 並求解 s 來獲得。系統的極點和零點的值決定了系統是否穩定以及系統的效能。類似地，系統零點是實數或以複共軛對的形式出現。在具有直通項的系統零點的情況下，我們取 $D$ 作為滿秩。

系統

考慮一個連續時間 LTI 系統，$G$，具有最小狀態空間表示 $(A,B,C,D)$

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du\end{aligned}}$

資料

作為輸入所需的矩陣為

${\begin{aligned}A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\B\in \mathbb {R} ^{n\times m}\\N\in \mathbb {R} ^{p\times n}\\\end{aligned}}$

在這種情況下，$m\leq p$

LMI：具有直通項的系統零點

$G(s)=C(sI-A)^{-}1B+D$ 的傳遞零點是 $A-B(D^{T}D)^{-1}D^{T}C$ 的特徵值。因此，$G(s)$ 是一個最小相位系統，當且僅當存在 $P\in \mathbb {S} ^{q}$，其中 $P>0$ 使得

${\begin{aligned}P(A-B(D^{T}D)^{-1}D^{T}C)+(A-B(D^{T}D)^{-1}D^{T}C)^{T}P<0\\\end{aligned}}$

結論

如果 P 存在，它保證了非最小相位。 $A-B(D^{T}D)^{-1}D^{T}C$ 的特徵值則給出系統的零點。

相關 LMI

LMIs_in_Controls/pages/systemzeroswithoutfeedthrough

實現

https://github.com/Ricky-10/coding107/blob/master/systemzeroswithfeedthrough

外部連結

記錄和驗證 LMI 的參考文獻列表。

• 最優和魯棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 關於控制中 LMI 的課程。
• 系統、穩定性和控制理論中的 LMI 屬性和應用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 編寫的 LMI 列表。
• 系統和控制理論中的 LMI - Stephen Boyd 編寫的關於 LMI 的可下載書籍。
• Control_Systems/Poles_and_Zeros