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極點和零點

極點和零點是傳遞函式中複頻變數 ( s ) 的值，使傳遞函式分別變成無窮大（極點）或零（零點）。具體來說，零點是使傳遞函式分子為零的 ( s ) 值，而極點是使傳遞函式分母為零的 ( s ) 值。系統的極點和零點值決定了系統是否穩定，以及系統性能如何。在最簡單的意義上，控制系統可以透過簡單地為系統的極點和零點指定特定值來設計。

物理上可實現的控制系統必須具有大於零點數量的極點數。滿足此關係的系統稱為真。我們將在下面詳細說明這一點。

時域關係

假設我們有一個具有 3 個極點的傳遞函式

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}$

極點位於 s = l、m、n。現在，我們可以使用部分分式展開將傳遞函式分離出來

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}={\frac {A}{s-l}}+{\frac {B}{s-m}}+{\frac {C}{s-n}}$

對每個分式使用逆變換（在我們的表中查詢變換），我們得到以下結果

$h(t)=Ae^{lt}u(t)+Be^{mt}u(t)+Ce^{nt}u(t)$

但是，由於 s 是一個復變數，l、m 和 n 都可能是複數，具有實部 (σ) 和虛部 (jω)。如果我們只看第一項

$Ae^{lt}u(t)=Ae^{(\sigma _{l}+j\omega _{l})t}u(t)=Ae^{\sigma _{l}t}e^{j\omega _{l}t}u(t)$

對虛指數使用尤拉方程，我們得到

$Ae^{\sigma _{l}t}[\cos(\omega _{l}t)+j\sin(\omega _{l}t)]u(t)$

如果存在復極點，它總是伴隨著另一個復極點，該復極點是它的複共軛。因此，它們的時域表示的虛部會抵消，我們剩下 2 個相同的實部。假設存在第一項的複共軛極點，我們可以取該方程的實部的 2 倍，然後得到我們的最終結果

$2Ae^{\sigma _{l}t}\cos(\omega _{l}t)u(t)$

我們可以從這個方程中看到，每個極點在其響應中都會有一個指數部分和一個正弦部分。我們還可以構建一些規則

1. 如果 σ_l = 0，則極點的響應是一個完美的正弦曲線（一個振盪器）
2. 如果 ω_l = 0，則極點的響應是一個完美的指數函式。
3. 如果 σ_l < 0，則響應的指數部分將衰減到零。
4. 如果 σ_l > 0，響應的指數部分將上升到無窮大。

從最後兩條規則可以看出，系統的全部極點必須具有負的實部，因此，為了使系統穩定，它們必須都具有 (s + l) 的形式。我們將在後面的章節中討論穩定性。

什麼是極點和零點

假設我們有一個定義為兩個多項式之比的傳遞函式

$H(s)={N(s) \over D(s)}$

其中 N(s) 和 D(s) 是簡單的多項式。零點是 N(s)（傳遞函式的分子）的根，透過設定 N(s) = 0 並求解 s 獲得。

函式的多項式階數是多項式中最高指數的值。

極點是 D(s)（傳遞函式的分母）的根，透過設定 D(s) = 0 並求解 s 獲得。由於我們上面的限制，傳遞函式的零點不能多於極點，因此我們可以說 D(s) 的多項式階數必須大於或等於 N(s) 的多項式階數。

示例

考慮傳遞函式

$H(s)={s+2 \over s^{2}+0.25}$

我們定義 N(s) 和 D(s) 為分子和分母多項式，如下所示

$N(s)=s+2$

$D(s)=s^{2}+0.25$

我們將 N(s) 設定為零，並求解 s

$N(s)=s+2=0\to s=-2$

因此，我們在 s → -2 處有一個零點。現在，我們將 D(s) 設定為零，並求解 s 以獲得方程的極點

$D(s)=s^{2}+0.25=0\to s=+i{\sqrt {0.25}},-i{\sqrt {0.25}}$

簡化後，我們在以下位置得到極點：-i/2 , +i/2。記住，s 是一個復變數，因此它可以取虛數和實數值。

極點和零點的影響

當 s 接近零點時，傳遞函式的分子（因此傳遞函式本身）接近 0。當 s 接近極點時，傳遞函式的分母接近零，傳遞函式的值接近無窮大。對於熟悉 BIBO 穩定性的人來說，無窮大的輸出值應該敲響警鐘。我們將在後面討論這個問題。

正如我們在上面看到的，極點的位置以及極點的實部和虛部的值決定了系統的響應。實部對應於指數，虛部對應於正弦值。在傳遞函式中新增極點會將根軌跡拉向右側，使系統變得不穩定。在傳遞函式中新增零點會將根軌跡拉向左側，使系統變得更穩定。

二階系統

二階系統的規範形式如下

[二階傳遞函式]

$H(s)={\frac {K\omega ^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s+\omega ^{2}}}$

其中 K 是系統增益，ζ 稱為函式的阻尼比，ω 稱為系統的固有頻率。如果二階系統的 ζ 和 ω 準確已知，則可以輕鬆繪製時間響應並輕鬆檢查穩定性。有關二階系統的更多資訊，請參見這裡。

阻尼比

二階系統的阻尼比用希臘字母 zeta (ζ) 表示，是一個實數，它定義了系統的阻尼特性。更大的阻尼會減少過沖百分比，並延長穩定時間。阻尼是系統固有地抵抗系統瞬態響應振盪性質的能力。較大的阻尼係數或阻尼係數會產生具有較小振盪性質的瞬態響應。

固有頻率

固有頻率有時會用下標表示

$\omega \to \omega _{n}$

當很明顯地指代固有頻率時，我們將省略下標，但在使用變數 ω 的其他值時，我們將包含下標。此外，$\omega ~=~\omega _{n}$ 當 $\zeta ~=0$.

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