控制系統/系統延遲

延遲

一個系統可以被構建成具有固有的延遲。延遲是指導致輸入訊號時間推移的單元，但不影響訊號特性。理想延遲是指不會影響訊號特性的延遲系統，它會將訊號延遲一個精確的時間。一些延遲，例如處理延遲或傳輸延遲，是無意的。然而，其他延遲，例如同步延遲，是系統不可或缺的一部分。本章將討論如何在拉普拉斯域中使用和表示延遲。一旦我們用拉普拉斯域表示延遲，透過變數轉換，就可以輕鬆地將延遲表示到其他域中。

理想延遲

理想延遲會導致輸入函式在時間上向前推移一個特定時間段。具有理想延遲的系統會導致系統輸出延遲一個有限的、預定的時間。

時間推移

假設我們在時間域有一個函式，它被一個常數時間段T推移。為了方便，我們將這個函式表示為x(t - T)。現在，我們可以證明x(t - T)的拉普拉斯變換如下

${\mathcal {L}}\{x(t-T)\}\Leftrightarrow e^{-sT}X(s)$

這表明時間域中的時間推移在復拉普拉斯域中變為指數函式。

Z域的推移

由於我們知道Z變換和星形變換之間的以下一般關係

$z\Leftrightarrow e^{sT}$

我們可以證明離散時間域中的時間推移在Z域中會變成什麼

$x((n-n_{s})\cdot T)\equiv x[n-n_{s}]\Leftrightarrow z^{-n_{s}}X(z)$

延遲與穩定性

時間域中的時間推移在拉普拉斯域中變為指數增長。這似乎表明時間推移會影響系統的穩定性，並可能導致系統變得不穩定。我們定義一個名為時間裕度的新引數，它表示在系統變得不穩定之前可以推移輸入函式的時間量。如果系統能夠承受任何任意的時間推移而不變得不穩定，我們說系統的時間裕度是無限的。

延遲裕度

當談論正弦訊號時，談論“時間推移”沒有意義，因此我們改為談論“相位推移”。因此，通常也把時間裕度稱為系統的相位裕度。相位裕度表示在系統變得不穩定之前可以應用於系統輸入的相位推移量。

我們用希臘字母φ（phi）的小寫字母表示系統的相位裕度。相位裕度對於二階系統定義如下

[延遲裕度]

$\phi _{m}=\tan ^{-1}\left[{\frac {2\zeta }{({\sqrt {4\zeta ^{4}+1}}-2\zeta ^{2})^{1/2}}}\right]$

通常，相位裕度可以用以下關係近似

[延遲裕度（近似）]

$\phi _{m}\approx 100\zeta$

希臘字母zeta（ζ）表示一個名為阻尼比的量，我們將在下一章中詳細討論這個量。

變換域延遲

普通的Z變換不能解釋一個經歷任意時間延遲或處理延遲的系統。然而，Z變換可以被修改以解釋任意延遲。這種新的Z變換版本通常被稱為修正Z變換，儘管在一些文獻（尤其是在維基百科中）被稱為高階Z變換。

延遲星形變換

為了演示理想延遲的概念，我們將展示星形變換如何響應具有指定延遲時間T的時移輸入。函式 :$X^{*}(s,\Delta )$是具有延遲引數Δ的延遲星形變換。延遲星形變換定義為星形變換，如下所示

[延遲星形變換]

$X^{*}(s,\Delta )={\mathcal {L}}^{*}\left\{x(t-\Delta )\right\}=X(s)e^{-\Delta Ts}$

正如我們所看到的，在星形變換中，時延訊號在變換域中乘以衰減指數值。

延遲Z變換

由於我們知道星形變換與Z變換透過以下變數變化相關

$z=e^{-sT}$

我們可以解釋以上結果，以顯示Z變換如何響應延遲

${\mathcal {Z}}(x[t-T])=X(z)z^{-T}$

此結果是預期的。

現在我們知道了Z變換如何響應時移，將此行為概括為一種稱為延遲Z變換的形式通常很有用。延遲Z變換是兩個變數z和Δ的函式，定義如下

$X(z,\Delta )={\mathcal {Z}}\left\{x(t-\Delta )\right\}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}$

最後

[延遲Z變換]

${\mathcal {Z}}(x[n],\Delta )=X(z,\Delta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-\Delta ]z^{-n}$

修正Z變換

延遲Z變換有一些用途，但數學家和工程師認為需要一個更有用的變換版本。Z變換的新版本類似於延遲Z變換，但變數發生了變化，被稱為修正Z變換。修正Z變換定義為延遲Z變換，如下所示

$X(z,m)=X(z,\Delta ){\big |}_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}{\big |}_{\Delta \to 1-m}$

它的明確定義是

[修正Z變換]

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

← 取樣資料系統

控制系統

極點和零點 →