愛爾蘭高中畢業證書數學/代數

代數是數學的一個分支，涉及對結構、關係和數量的研究。這個名字來源於波斯數學家、天文學家、占星家和地理學家穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米撰寫的專著，名為《代數和平衡的計算簡明書》，書中提供了對線性方程和二次方程的系統解法的符號運算。花拉子米著作傳到了歐洲，並被翻譯成拉丁語，名為《代數與穆卡巴拉之書》。

代數與幾何、分析、組合學和數論一起，是數學的主要分支之一。初等代數通常是中學課程的一部分，它介紹了代數的基本概念，包括加法和乘法的運算效果、變數的概念、多項式的定義，以及因式分解和確定其根。

代數比初等代數要廣泛得多，可以概括。除了直接處理數字外，代數還包括處理符號、變數和集合元素。加法和乘法被視為一般的運算，它們精確的定義導致了群、環和域等結構的產生。

代數 1

1. 表示式 - 最基本的東西；加法、減法、乘法、除法、代數符號和使用帕斯卡三角形。
2. 因式分解 - 使用最大公因數 (HCF)、分組、平方差、立方差和二次三項式來找到表示式的因式。
3. 代數分數 - 代數分數的加減運算，以及乘除運算。
4. 二項式展開 - 當兩個項的表示式被提高到高次方時，一種更簡單的展開方法。
5. 二項式項 - 找到特定位置的項，或找到變數被提高到特定次方的位置。

考試題目

2003

試卷 1 問題 1

1. (a) 將以下表達式表示為最簡形式的單個分數

$\ {\frac {6y}{x(x+4y)}}-{\frac {3}{2x}}$

(b) (i) $\ f(x)=ax^{2}+bx+c$ 其中 $\ a,b,c\epsilon R$

已知 $\ k$ 是一個實數，使得 $\ f(k)=0$，證明 $\ x-k$ 是 $\ f(x)$ 的一個因式。

(ii) 證明 $\ 2x-{\sqrt {3}}$ 是 $\ 4x^{2}-2(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {3}}$ 的一個因式，並求出另一個因式。

(c) 方程 $\ x^{2}+10x+c=0$ 的兩個實根相差 $\ 2p$，其中 $\ c,p\epsilon R$ 且 $\ p>0$.

(i) 證明 $\ p^{2}=25-c$.

(ii) 已知一個根大於零，另一個根小於零，求 $\ p$ 的取值範圍。

試卷一 第 2 題

2. (a) 解下列聯立方程

$\ 3x-y=8$

$\ x^{2}+y^{2}=10$

(b) (i) 求解 x

$\ |4x+7|<1$

(ii) 已知 $\ x^{2}-ax-3$ 是 $\ x^{3}-5x^{2}+bx+9$ 的一個因式，其中 $\ a,b\epsilon R$

求解 $\ a$ 和 $\ b$ 的值。

(c) (i) 求解 y：$\ 2^{2y+1}-5(2^{y}+2=0$

(ii) 已知 {math>\ x = \alpha</math> 和 $\ x=\beta$ 是二次方程

$\ 2k^{2}x^{2}+2ktx+t^{2}-3k^{2}=0$ 的解，其中 $\ k,t,\epsilon R$ 且 $\ k\neq 0$

證明 $\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}$ 與 $\ k$ 和 $\ t$ 無關。

2004

試卷 1 問題 1

(a) 將 $\ {\frac {1-{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}}}$ 表示成 $\ a{\sqrt {3}}-b$ 的形式，其中 $\ a$ 和 $\ b\epsilon N$。

(b)

(i) 令 $\ f(x)=x^{3}+kx^{2}-4x-12$，其中 $\ k$ 是常數。已知 $\ x+3$ 是 $\ f(x)$ 的一個因式，求 $\ k$ 的值。

(ii) 證明 $\ {\frac {3}{1+x^{p}}}+{\frac {3}{1+x^{-}p}}$ 化簡為一個常數。

(c)

(i) 證明 $\ p^{3}+q^{3}-(p+q)^{3}=-3pq(p+q)$。

(ii) 由此或其他方法，求使 $\ (a-x)^{3}+(b-x)^{3}-(a+b-2x)^{3}=0$ 成立的 $\ x$ 的三個值，用 $\ a$ 和 $\ b$ 表示。

Paper 1 Question 2

(a) 不使用計算器，求解以下聯立方程

$\ 3x+y+z=0$

$\ x-y+z=0$

$\ 2x-3y-z=9$

(b)

(i)

求解不等式$\ {\frac {x+1}{x-1}}<4$，其中$\ x\epsilon R$ 且 $\ x\neq 0$

(ii)

方程$\ x^{2}+px+q=0$ 的根為 $\ alpha$ 和 $\beta$，其中 $\ p,q\epsilon R$。

求根為$\ \alpha ^{2}\beta$ 和 $\ \alpha \beta ^{2}$ 的二次方程。

(c)

(i)

$\ f(x)=2x+1$，對於$\ x\epsilon R$

證明存在一個實數 $\ k$，使得對於所有的$\ x$

$\ f(x+f(x))=kf(x)$

(ii)

證明對於 $\ a,b,h$ 的任何實數值，二次方程

$\ (x-a)(x-b)-h^{2}=0$

有實根。

2005

試卷 1 問題 1

(a) 求解聯立方程

${\frac {x}{5}}-{\frac {y}{4}}=0$

$\ 3x+{\frac {y}{2}}=17$

(b)

(i) 將 $\ 2^{1/4}+2^{1/4}+2^{1/4}+2^{1/4}$ 表示為 $\ 2^{p/q}$ 的形式，其中 $\ p,q\epsilon Z$

(ii) 令 $\ f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

證明 $\ (x-t)$ 是 $\ f(x)-f(t)$ 的因式。

(c)$\ (x-p)^{2}$ 是 $\ x^{3}+qx+r$ 的因式

證明 $\ 27r^{2}+4q^{3}=0$

用 p 表示 $\ 3x^{3}+q=0$ 的根。

Paper 1 Question 2

(a) 求解關於 x 的方程 $\ |x-1|<7$，其中 $\ x\epsilon R$

(b) 三次方程 $\ 4x^{3}+10x^{2}-7x-3=0$ 有一整數根和兩個無理根。用最簡根式表示有理根。

(c) 令 $\ f(x)={\frac {x^{2}+k^{2}}{mx}}$，其中 $\ k$ 和 $/m$ 是常數，並且 $\ m\neq 0$

(i) 證明 $\ f(km)=f({\frac {k}{m}})$.

(ii) $\ a$ 和 $\ b$ 是實數，使得 $\ a\neq 0,b\neq 0$ 並且 $\ a\neq b$。證明如果 $\ f(a)=f(b)$，那麼 $\ ab=k^{2}$

2006

試卷 1 問題 1

(a) 求實數 a，使得對於所有 $\ x\neq 9$，

${\frac {x-9}{{\sqrt {x}}-3}}$

(b)$\ f(x)=3x^{3}+mx^{2}-17x+n$，其中 $\ m$ 和 $\ n$ 是常數。已知 $\ x-3$ 和 $\ x+2$ 是 $\ f(x)$ 的因式，求 $\ m$ 的值和 $\ n$ 的值。

(c)$\ x^{2}-t$ 是 $\ x^{3}-px^{2}+r$ 的因式。

(i) 證明 $\ {pq=r}$.

(ii) 用 $\ p$ 和 $\ q$ 表示方程 $\ x^{3}-px^{2}+r=0$ 的根。

Paper 1 Question 2

(a) 求解聯立方程

$\ y=2x-5$

$\ x^{2}+xy=2$

(b)

(i) 找出使二次方程

$\ (2t-1)x^{2}+5tx+2t=0$

有實根的 $\ t\epsilon R$ 值域。

(ii) 解釋當 t 為整數時，為什麼根是實數。