線性代數/加法、乘法和轉置

加法和減法

只有當兩個矩陣的大小相同時，它們才能被加或減。矩陣加法和減法是逐元素進行的，這意味著A+B中的每個元素都是A和B中對應元素的和。

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

這是一個矩陣加法的例子

$A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}$

和一個減法的例子

$A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&3\end{bmatrix}}$

請記住，你不能將兩個不同大小的矩陣相加或相減。

以下規則適用於矩陣的和和標量倍數。
令$A,B,C$ 是相同大小的矩陣，令 $r,s$ 是標量。

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+0=A$
• $r(A+B)=rA+rB$
• $(r+s)A=rA+sA$
• $r(sA)=(rs)A$

乘法

什麼是矩陣乘法？當且僅當第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時，才能將兩個矩陣相乘。

否則，兩個矩陣的乘積是未定義的。乘積矩陣的維數是

$\to ({\text{rows of first matrix}})\times ({\text{columns of the second matrix}})$

在上面的乘法中，矩陣無法相乘，因為第一個矩陣 $A$ 的列數不等於第二個矩陣 $B$ 的行數。乘積矩陣的維度：第一個矩陣的行數 × 第二個矩陣的列數。

冪

如果 $A$ 是一個 $n\times n$ 矩陣，並且如果 $k$ 是一個正整數，那麼 $A^{k}$ 表示 $k$ 個 $A$ 的乘積。

$A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}$

如果 $A$ 不為零，並且如果 ${\rm {x}}$ 屬於 $\mathbb {R} ^{n}$，那麼 $A^{k}{\rm {x}}$ 是將 ${\rm {x}}$ 左乘 $A$ $k$ 次的結果。如果 $k=0$，那麼 $A^{0}{\rm {x}}$ 應該為 ${\rm {x}}$ 本身。因此，$A^{0}$ 被解釋為單位矩陣。

轉置

給定一個 $m\times n$ 矩陣 $A$ , $A$ 的轉置是一個 $n\times m$ 矩陣，記作 $A^{T}$，它的列由 $A$ 的對應行組成。

例如

$A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}$

$A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}$

在處理轉置時，以下規則適用

1. $(A^{T})^{T}=A$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
3. 對於任何標量 $r$， $(rA)^{T}=rA^{T}$
4. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

第4條規則可以推廣到兩個以上因子的乘積，即“矩陣乘積的轉置等於其轉置的乘積，但順序相反”。意思是

$(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})^{T}=a_{n}^{T},\dots ,a_{3}^{T},a_{2}^{T},a_{1}^{T}$