線性代數/基向量

定義

向量空間V的基是一組具有以下性質的向量

• 它們線性無關。
• 它們的線性組合構成V中的每個向量。

如果存在d個線性無關的向量，並且任何d+1個向量都線性相關，則向量空間的維數為d。

非凡的定理

定理

在維數為d的向量空間中，任何d個線性無關的向量構成該向量空間的基。

證明

假設有d個向量。令x為另一個向量。那麼這d個向量和x線性相關，所以x線性依賴於這d個向量。因此，這d個向量構成一個基。

定理

如果一個向量空間有d個向量構成基，那麼它的維數為d。

定理（完成）

如果在維數為n的向量空間中，你有m個線性無關的向量（其中m<=n），那麼你可以選擇n-m個向量，它們與開始的m個向量一起構成該向量空間的基。

證明

這m個向量不能構成基，因為它不等於n，所以存在一個向量在向量空間中與它們線性無關。以這種方式繼續選擇獨立於先前向量的向量，直到得到n個向量。