線性代數/特徵方程

矩陣定義的特徵值非常有用，因為它允許我們使用以下定理找到給定矩陣的特徵值

$\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，當且僅當 $det(A-\lambda I_{n}v)=0.$

證明

如果 $Av=\lambda v$ 那麼

$\Rightarrow Av=\lambda I_{n}v$

$\Rightarrow Av-\lambda I_{n}v=0$

$\Rightarrow (A-\lambda I_{n})v=0$

但由於 $v$ 不為零，我們知道 $(A-\lambda I_{n})$ 是奇異的，即它的行列式為零，所以 A 的特徵值將滿足方程

$det(A-\lambda I_{n}v)=0.$

這被稱為特徵方程。（還沒有證明逆命題，但在計算特徵值時不需要這個。）

在 $A$ 是 $2x2$ 矩陣的情況下，此方程將導致特徵多項式

$det({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow det({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}})=0$

$\Rightarrow det{\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{bmatrix}}=0$

$\Rightarrow (a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )-a_{21}a_{12}=0$

$\Rightarrow \lambda ^{2}-(a_{11}+a_{22})\lambda +a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$

這只是一個二次方程，它的根是 $A$ 的特徵值。

為了找到相應的特徵向量，我們只需解方程 $Av=\lambda v$，它將是兩個聯立方程。事實上，這個方程將有無窮多個解，因為特徵向量的任何標量倍數也是特徵向量。