線性代數/克萊姆法則

克萊姆法則

讓我們嘗試解決線性方程組
a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+...+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+...+a_2nx_n=b₂
a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+...+a_3nx_n=b₃
...
a_n1x₁+a_n2x₂+a_n3x₃+...+a_nnx_n=b_n

這是方程數量和變數數量相等的特殊情況。

考慮矩陣

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$

表示為 D。

首先，我們將第 n 個方程乘以第 j 列的餘子式 Co(a_nj)，並將它們全部加起來。這得到

Co(a_1j)a₁₁x₁+Co(a_1j)a₁₂x₂+Co(a_1j)a₁₃x₃+...+Co(a_1j)a_1nx_n+
Co(a_2j)a₂₁x₁+Co(a_2j)a₂₂x₂+Co(a_2j)a₂₃x₃+...+Co(a_2j)a_2nx_n+
Co(a_3j)a₃₁x₁+Co(a_3j)a₃₂x₂+Co(a_3j)a₃₃x₃+...+Co(a_3j)a_3nx_n+
+...+
Co(a_nj)a_n1x₁+Co(a_nj)a_n2x₂+Co(a_nj)a_n3x₃+...+Co(a_nj)a_nnx_n
=
Co(a_1j)b₁+Co(a_2j)b₂+Co(a_3j)b₃+...+Co(a_nj)b_n。

左側除了 Co(a_1j)a_1jx_j+Co(a_2j)a_2jx_j+Co(a_3j)a_3jx_j+...+Co(a_nj)a_njx_j 之外，其他項都抵消了。

它等於 $x_{j}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}=D$

右側等於

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &b_{1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &b_{2}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &b_{3}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &b_{n}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$, 表示為 D(j)，它與 D 相同，只是第 j 列被 b_k 替換。

除以 D 得到 x_j=${\frac {D_{j}}{D}}$.

這個公式被稱為克萊姆法則，當 D 不等於 0 時，該解存在。

特別地，在求解的過程中，我們也發現這是一個唯一的解，所以這個解是唯一的。

示例

考慮以下線性方程組。
$3x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=15$
$5x_{1}+x_{3}=23$
$x_{2}+x_{3}=12$

如果我們只想要解，比如 $x_{2}$，我們可以應用克萊姆法則，發現其解為 ${\frac {D_{2}}{D}}$，並且我們知道
$D_{2}={\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}$,
$x_{2}={\frac {\det {\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}}{\det {\begin{bmatrix}3&2&-5\\5&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}}}=9$.