線性代數/同態的定義

定義 1.1

向量空間之間的函式 $h:V\to W$ 保持加法運算

如果 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ 那麼 $h({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1})+h({\vec {v}}_{2})$

和標量乘法

如果 ${\vec {v}}\in V$ 和 $r\in \mathbb {R}$ 那麼 $h(r\cdot {\vec {v}})=r\cdot h({\vec {v}})$

是同態或線性對映。

示例 1.2

投影對映 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

是同態。

它保持加法

\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\!+\!{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+\pi ({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})

和標量乘法。

\pi (r\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\\rz_{1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\end{pmatrix}}=r\cdot \pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})

該對映不是同構，因為它不是一對一的。例如， ${\vec {0}}$ 和 ${\vec {e}}_{3}$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中都被對映到 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的零向量。

例 1.3

當然，定義域和陪域可能不是列向量的空間。這兩個都是同態；驗證很簡單。

$f_{1}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由下式給出
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\;\mapsto \;a_{0}x+(a_{1}/2)x^{2}+(a_{2}/3)x^{3}$
$f_{2}:M_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 由下式給出
${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto a+d$

例 1.4

在任何兩個空間之間都存在一個**零同態**，將定義域中的每個向量對映到陪域中的零向量。

例 1.5

這兩個例子說明了我們為什麼使用“線性對映”這個術語。

對映 $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由下式給出
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {g}{\longmapsto }}3x+2y-4.5z$
是線性的（即為同態）。相反，對映 ${\hat {g}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ 由
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\hat {g}}{\longmapsto }}3x+2y-4.5z+1$ 給出
不是；例如，
${\hat {g}}({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad {\hat {g}}({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})+{\hat {g}}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})=5$ 。
（為了證明一個對映不是線性的，我們只需要給出線性組合不保留的一個例子）。
這兩個對映中的第一個 $t_{1},t_{2}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是線性的，而第二個不是。
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}5x-2y\\x+y\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}5x-2y\\xy\end{pmatrix}}$ 。
找到第二個對映不能保留結構的例子很容易。

區別同態的是座標函式是自變數的線性組合。另見問題 7。

顯然，任何同構都是同態——同構是也是對應關係的同態。因此，我們可以將“同態”概念視為“同構”的推廣，其動機在於觀察到，同構的許多性質僅僅與對映的結構保持屬性有關，而與它是否為對應關係無關。例如，上一節中的這兩個結果在其證明中沒有使用一一性或映上性，因此適用於任何同態。

引理 1.6

同態將零向量對映到零向量。

引理 1.7

這些都是 $f:V\to W$ 為同態的充要條件。

$f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})$ 對於任意 $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ 和 ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$
$f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot f({\vec {v}}_{n})$ 對於任意 $c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R}$ 和 ${\vec {v}}_{1},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V$

第一部分通常用於檢查函式是否為線性函式。

示例 1.8

對映 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$ 由

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x/2\\0\\x+y\\3y\end{pmatrix}}

滿足先前結果的 1。

{\begin{pmatrix}r_{1}(x_{1}/2)+r_{2}(x_{2}/2)\\0\\r_{1}(x_{1}+y_{1})+r_{2}(x_{2}+y_{2})\\r_{1}(3y_{1})+r_{2}(3y_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}/2\\0\\x_{1}+y_{1}\\3y_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}x_{2}/2\\0\\x_{2}+y_{2}\\3y_{2}\end{pmatrix}}

因此，它是一個同態。

但是，我們對同構看到的某些結果通常不適用於同態。考慮同構在空間之間建立對應關係，這與它們的基礎相對應。同態不會建立任何這樣的對應關係；例 1.2 表明不存在這樣的對應關係，另一個例子是任何兩個非平凡空間之間的零對映。相反，對於同態，一個較弱但仍然非常有用的結果成立。

定理 1.9

同態由其在基上的作用決定。也就是說，如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是向量空間 $V$ 的一個基，並且 ${\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{n}$ 是向量空間 $W$ 中的（可能不不同的）元素，則存在一個從 $V$ 到 $W$ 的同態，將 ${\vec {\beta }}_{1}$ 對映到 ${\vec {w}}_{1}$ ，...，以及將 ${\vec {\beta }}_{n}$ 對映到 ${\vec {w}}_{n}$ ，並且該同態是唯一的。

證明

我們將透過關聯 ${\vec {\beta }}_{1}$ 與 ${\vec {w}}_{1}$ 等來定義對映，然後線性擴充套件到整個域。也就是說，當 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 時，對映 $h:V\to W$ 由 $h({\vec {v}})=c_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}$ 給出。這是定義明確的，因為關於基底，每個域向量 ${\vec {v}}$ 的表示是唯一的。

這個對映是同態的，因為它保留線性組合；當 ${\vec {v_{1}}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 以及 ${\vec {v_{2}}}=d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ ，我們有以下結果。

{\begin{array}{rl}h(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})&=h((r_{1}c_{1}+r_{2}d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(r_{1}c_{n}+r_{2}d_{n}){\vec {\beta }}_{n})\\&=(r_{1}c_{1}+r_{2}d_{1}){\vec {w}}_{1}+\dots +(r_{1}c_{n}+r_{2}d_{n}){\vec {w}}_{n}\\&=r_{1}h({\vec {v}}_{1})+r_{2}h({\vec {v}}_{2})\end{array}}

並且，這個對映是唯一的，因為如果 ${\hat {h}}:V\to W$ 是另一個同態，使得 ${\hat {h}}({\vec {\beta }}_{i})={\vec {w}}_{i}$ 對於每個 $i$ ，則 $h$ 和 ${\hat {h}}$ 在域中的所有向量上都一致。

{\begin{array}{rl}{\hat {h}}({\vec {v}})&={\hat {h}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}{\hat {h}}({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}{\hat {h}}({\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}\\&=h({\vec {v}})\end{array}}

因此， $h$ 和 ${\hat {h}}$ 是同一個對映。

示例 1.10

此結果表明，我們可以透過固定域的基底並指定對映傳送這些基底向量的位置來構造一個同態。例如，如果我們指定一個對映 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 以這種方式作用於標準基底 ${\mathcal {E}}_{2}$

h({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad h({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}}

那麼 $h$ 對域中任何其他成員的作用也被指定。例如， $h$ 在這個引數上的值

h({\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}})=h(3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})=3\cdot h({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})-2\cdot h({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}

是 $h$ 在基向量上的值的直接結果。

在本章的後面，我們將開發一種使用矩陣的方案，該方案便於進行類似於此方案的計算。

正如一個空間與其自身的同構是有用且有趣的，一個空間與其自身的同態也是如此。

定義 1.11

從空間到其自身的線性對映 $t:V\to V$ 是線性變換。

備註 1.12

在這本書中，我們只在陪域等於域的情況下使用“線性變換”，但在其他文字中，它被廣泛用作“同態”的通用同義詞。

示例 1.13

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 上將所有向量投影到 $x$ -軸上的對映

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}

是線性變換。

示例 1.14

導數對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$

a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\cdots +na_{n}x^{n-1}

是一個線性變換，正如微積分筆記中的結果： $d(c_{1}f+c_{2}g)/dx=c_{1}\,(df/dx)+c_{2}\,(dg/dx)$ .

示例 1.15: 矩陣轉置對映

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}

是 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的線性變換。注意，此變換是一對一的並且是滿射的，因此它實際上是一個自同構。

我們透過回顧可以線性組合對映來結束關於對映的本小節。例如，對於從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的這些對映

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}2x\\3x-2y\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {g}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\5x\end{pmatrix}}

線性組合 $5f-2g$ 也是從 $R^{2}$ 到自身的對映。

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {5f-2g}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}10x\\5x-10y\end{pmatrix}}

引理 1.16

對於向量空間 $V$ 和 $W$ ，從 $V$ 到 $W$ 的線性函式集合本身就是一個向量空間，是所有從 $V$ 到 $W$ 的函式空間的子空間。它表示為 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 。

證明

這個集合不為空，因為它包含零同態。因此，要證明它是一個子空間，我們只需要檢查它是否線上性組合下是封閉的。設 $f,g:V\to W$ 是線性的。那麼它們的和是線性的

{\begin{array}{rl}(f+g)(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})&=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2})+c_{1}g({\vec {v}}_{1})+c_{2}g({\vec {v}}_{2})\\&=c_{1}{\bigl (}f+g{\bigr )}({\vec {v}}_{1})+c_{2}{\bigl (}f+g{\bigr )}({\vec {v}}_{2})\end{array}}

任何標量倍數也是線性的。

{\begin{array}{rl}(r\cdot f)(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})&=r(c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2}))\\&=c_{1}(r\cdot f)({\vec {v}}_{1})+c_{2}(r\cdot f)({\vec {v}}_{2})\end{array}}

因此， $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 是一個子空間。

我們從隔離同構的結構保持屬性開始這一節。也就是說，我們定義了同態作為同構的推廣。我們為同構研究的一些性質保持不變，而另一些則適應了這種更一般的設定。

然而，將這種新的同態概念視為源自同構或以某種方式從屬於同構的概念將是一個錯誤。在本章的其餘部分，我們將主要使用同態，部分原因是關於同態的任何陳述都自動適用於同構，但更重要的是，雖然同構的概念可能更自然，但經驗表明同態的概念實際上更有成效，並且對於進一步的進展更加重要。

練習

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問題 1

確定每個 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 是否為線性。

$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x\\x+y+z\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
$h({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2x+y\\3y-4z\end{pmatrix}}$

答案

是。驗證很簡單。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}+y_{1}+z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\c_{2}+y_{2}+z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
是的。驗證很容易。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
不。一個不符合加法的例子是這個。
$h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\neq h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})+h({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}})$
是。驗證很簡單。
${\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}2(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})+(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})\\3(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})-4(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2})\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2x_{1}+y_{1}\\3y_{1}-4z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2x_{2}+y_{2}\\3y_{2}-4z_{2}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

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問題 2

判斷每個對映 $h:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ 是否是線性的。

$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=a+d$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=ad-bc$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=2a+3b+c-d$
$h({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})=a^{2}+b^{2}$

答案

對於每個函式，我們必須檢驗線性組合是否被保留，或者給出一個線性組合不被保留的例子。

是。檢驗其是否保留組合是例行公事。
${\begin{array}{rl}h(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&=(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})+(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2})\\&=r_{1}(a_{1}+d_{1})+r_{2}(a_{2}+d_{2})\\&=r_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
否。例如，乘以標量 $2$ 就沒有被保留。
$h(2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}})=h({\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad 2\cdot h({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}})=2\cdot 1=2$
是。這是檢驗其是否保留域中兩個成員的組合。
${\begin{array}{rl}h(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}&r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}\\r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2}&r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2}\end{pmatrix}})\\&=2(r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2})+3(r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2})+(r_{1}c_{1}+r_{2}c_{2})-(r_{1}d_{1}+r_{2}d_{2})\\&=r_{1}(2a_{1}+3b_{1}+c_{1}-d_{1})+r_{2}(2a_{2}+3b_{2}+c_{2}-d_{2})\\&=r_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$
不是。一個不保持組合的例子如下。
$h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})=h({\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}})=4\quad {\text{while}}\quad h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})+h({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}})=1+1=2$

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問題 3

證明這兩個對映是同態。

$d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 由 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ 對映到 $a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}$
$\int :{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 由 $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ 對映到 $b_{0}x+(b_{1}/2)x^{2}+(b_{2}/3)x^{3}$

這些對映互為逆對映嗎？

答案

檢驗每個對映是否是同態是例行公事。以下是關於微分對映的檢驗。

{\frac {d}{dx}}(r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+s\cdot (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}))

{\begin{array}{rl}&={\frac {d}{dx}}((ra_{0}+sb_{0})+(ra_{1}+sb_{1})x+(ra_{2}+sb_{2})x^{2}+(ra_{3}+sb_{3})x^{3})\\&=(ra_{1}+sb_{1})+2(ra_{2}+sb_{2})x+3(ra_{3}+sb_{3})x^{2}\\&=r\cdot (a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2})+s\cdot (b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2})\\&=r\cdot {\frac {d}{dx}}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3})+s\cdot {\frac {d}{dx}}(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3})\end{array}}

(另一種證明是簡單地注意到，這是微分的一個屬性，在微積分中很熟悉。)

這兩個對映不是互逆對映，因為這種複合對映作用在域的這個元素上時，不作為恆等對映。

1\in {\mathcal {P}}_{3}\;{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}\;0\in {\mathcal {P}}_{2}\;{\stackrel {\int }{\longmapsto }}\;0\in {\mathcal {P}}_{3}

問題 4

從 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $xz$ 平面的（垂直）投影是同態嗎？投影到 $yz$ 平面的？投影到 $x$ 軸？ $y$ 軸？ $z$ 軸？投影到原點？

答案

這些投影中的每一個都是同態。投影到 $xz$ 平面和 $yz$ 平面是這些對映。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\y\\z\end{pmatrix}}

投影到 $x$ 軸， $y$ 軸和 $z$ 軸是這些對映。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}

投影到原點是這個對映。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}

驗證每個對映都是同態是直接的。（最後一個，當然，是關於 $\mathbb {R} ^{3}$ 的零變換。）

問題 5

證明，雖然來自示例 1.3 的對映保留線性運算，但它們不是同構。

答案

第一個不是滿射；例如，沒有多項式可以被髮送到常數多項式 $p(x)=1$ 。第二個不是單射；域中的這兩個成員

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}

被對映到陪域的同一個成員， $1\in \mathbb {R}$ .

問題 6

恆等對映是線性變換嗎？

答案

是的；在任何空間 ${\text{id}}(c\cdot {\vec {v}}+d\cdot {\vec {w}})=c\cdot {\vec {v}}+d\cdot {\vec {w}}=c\cdot {\text{id}}({\vec {v}})+d\cdot {\text{id}}({\vec {w}})$ 。

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問題 7

說一個函式是“線性的”與說它的圖形是一條直線是不同的。

函式 $f_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 由 $f_{1}(x)=2x-1$ 給出，其圖形是一條直線。證明它不是線性函式。
函式 $f_{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 由
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto x+2y$
給出，其圖形不是直線。證明它是一個線性函式。

答案

此對映不保留結構，因為 $f(1+1)=3$ ，而 $f(1)+f(1)=2$ .
檢查是例行的。
${\begin{array}{rl}f(r_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+r_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})&=f({\begin{pmatrix}r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}\\r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2}\end{pmatrix}})\\&=(r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2})+2(r_{1}y_{1}+r_{2}y_{2})\\&=r_{1}\cdot (x_{1}+2y_{1})+r_{2}\cdot (x_{2}+2y_{2})\\&=r_{1}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}})+r_{2}\cdot f({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}$

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問題 8

線性函式的定義部分是它尊重加法。線性函式是否尊重減法？

答案

是的。當 $h:V\to W$ 為線性時， $h({\vec {u}}-{\vec {v}})=h({\vec {u}}+(-1)\cdot {\vec {v}})=h({\vec {u}})+(-1)\cdot h({\vec {v}})=h({\vec {u}})-h({\vec {v}})$ .

問題 9

假設 $h$ 是 $V$ 的線性變換，並且 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是 $V$ 的基底。證明每個陳述。

如果對於每個基向量 $h({\vec {\beta }}_{i})={\vec {0}}$ ，那麼 $h$ 是零對映。
如果每個基向量都滿足 $h({\vec {\beta }}_{i})={\vec {\beta }}_{i}$ ，則 $h$ 是恆等對映。
如果存在一個標量 $r$ ，使得每個基向量都滿足 $h({\vec {\beta }}_{i})=r\cdot {\vec {\beta }}_{i}$ ，則對於 $V$ 中的所有向量，都有 $h({\vec {v}})=r\cdot {\vec {v}}$ 。

答案

令 ${\vec {v}}\in V$ 關於該基表示為 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。然後 $h({\vec {v}})=h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}\cdot {\vec {0}}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 。
此論點與之前的論點類似。設 ${\vec {v}}\in V$ 在基底上的表示為 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ 。那麼 $h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}={\vec {v}}$ .
如上所述，只有 $c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}r{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}r{\vec {\beta }}_{n}=r(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=r{\vec {v}}$ .

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問題 10

考慮向量空間 $\mathbb {R} ^{+}$ ，其中向量加法和標量乘法不是從 $\mathbb {R}$ 繼承的，而是如下定義的： $a+b$ 是 $a$ 和 $b$ 的乘積，而 $r\cdot a$ 是 $a$ 的 $r$ 次方。（這在之前的練習中已被證明是一個向量空間。）驗證自然對數對映 $\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ 是這兩個空間之間的同態。它是同構嗎？

答案

它是同態，這是因為我們知道對數的熟悉法則，即乘積的對數等於對數的和 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ ，以及冪的對數等於對數的倍數 $\ln(a^{r})=r\ln(a)$ 。此對映是同構，因為它具有反對映，即指數對映，因此它是一一對應，因此它是一個同構。

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問題 11

考慮這個對 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換。

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x/2\\y/3\end{pmatrix}}

求這個橢圓在這個對映下的像。

\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,(x^{2}/4)+(y^{2}/9)=1\}

答案

其中 ${\hat {x}}=x/2$ 且 ${\hat {y}}=y/3$ ，像集為

\{{\begin{pmatrix}{\hat {x}}\\{\hat {y}}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\frac {\displaystyle (2{\hat {x}})^{2}}{\displaystyle 4}}+{\frac {\displaystyle (3{\hat {y}})^{2}}{\displaystyle 9}}=1\}=\{{\begin{pmatrix}{\hat {x}}\\{\hat {y}}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\hat {x}}^{2}+{\hat {y}}^{2}=1\}

在 ${\hat {x}}{\hat {y}}$ -平面上單位圓。

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問題 12

想象一根繩子繞地球赤道纏繞，使其緊密貼合（假設地球是一個球體）。將圓形向上抬起到離地面 6 英尺的恆定高度，需要增加多少繩子？

答案

周長函式 $r\mapsto 2\pi r$ 是線性的。因此我們有 $2\pi \cdot (r_{\text{earth}}+6)-2\pi \cdot (r_{\text{earth}})=12\pi$ 。觀察到，將圓形從緊密纏繞在籃球上抬升到籃球上方 6 英尺所需要的額外繩子長度，與將圓形從緊密纏繞在地球上抬升到地球上方 6 英尺所需要的額外繩子長度相同。

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問題 13

驗證此對映 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}}=3x-y-z

是線性的。推廣。

答案

驗證它是否是線性的是例行的。

{\begin{array}{rl}h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}\\c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\\c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\end{pmatrix}})\\&=3(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})-(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})-(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2})\\&=c_{1}\cdot (3x_{1}-y_{1}-z_{1})+c_{2}\cdot (3x_{2}-y_{2}-z_{2})\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})\end{array}}

對任何固定的 ${\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{3}$ ，對映 ${\vec {v}}\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {k}}$ 是線性的。這個說法是正確的。它來自於我們之前見過的點積的性質： $({\vec {v}}+{\vec {u}})\cdot {\vec {k}}={\vec {v}}\cdot {\vec {k}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {k}}$ 以及 $(r{\vec {v}})\cdot {\vec {k}}=r({\vec {v}}\cdot {\vec {k}})$ 。（對這個泛化的自然推論，即從 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的對映，其作用是將其引數與一個固定向量 ${\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 進行點積，是線性的，也是正確的。）

問題 14

證明從 $\mathbb {R} ^{1}$ 到 $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何同態都是透過乘以一個標量來實現的。得出結論， $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何非平凡線性變換都是同構。對於 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換是否也是如此？ $\mathbb {R} ^{n}$ ?

答案

令 $h:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ 為線性對映。線性對映由其在基上的作用確定，因此固定 $\mathbb {R} ^{1}$ 的基 $\langle 1\rangle$ 。對於任何 $r\in \mathbb {R} ^{1}$ ，我們有 $h(r)=h(r\cdot 1)=r\cdot h(1)$ ，因此 $h$ 對任何引數 $r$ 的作用是將其乘以常數 $h(1)$ 。如果 $h(1)$ 不為零，則該對映是一個對應關係——其逆運算為除以 $h(1)$ ——因此， $\mathbb {R} ^{1}$ 的任何非平凡變換都是一個同構。

這個投影對映是一個例子，它表明，當 $n>1$ （包括 $n=2$ ）時，並非 $\mathbb {R} ^{n}$ 的所有變換都透過乘以常數來作用。

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}

問題 15

證明對於任何標量 $a_{1,1},\dots ,a_{m,n}$ ，此對映 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是一個同態。
${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\cdots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}$
證明對於每個 $i$ ，第 $i$ 階導數運算元 $d^{i}/dx^{i}$ 是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的線性變換。由此得出結論，對於任意標量 $c_{k},\ldots ,c_{0}$ ，該對映是該空間的線性變換。
$f\mapsto {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f+c_{k-1}{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}f+\dots +c_{1}{\frac {d}{dx}}f+c_{0}f$

答案

其中 $c$ 和 $d$ 是標量，我們有這個。
${\begin{array}{rl}h(c\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})&=h({\begin{pmatrix}cx_{1}+dy_{1}\\\vdots \\cx_{n}+dy_{n}\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}a_{1,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{1,n}(cx_{n}+dy_{n})\\\vdots \\a_{m,1}(cx_{1}+dy_{1})+\dots +a_{m,n}(cx_{n}+dy_{n})\end{pmatrix}}\\&=c\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}\end{pmatrix}}+d\cdot {\begin{pmatrix}a_{1,1}y_{1}+\dots +a_{1,n}y_{n}\\\vdots \\a_{m,1}y_{1}+\dots +a_{m,n}y_{n}\end{pmatrix}}\\&=c\cdot h({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}})+d\cdot h({\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\end{array}}$
導數運算元的每個冪 $i$ 都是線性的，因為這些規則來自我們熟悉的微積分。
${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(\,f(x)+g(x)\,)={\frac {d^{i}}{dx^{i}}}f(x)+{\frac {d^{i}}{dx^{i}}}g(x)\quad {\text{and}}\quad {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,r\cdot f(x)=r\cdot {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}f(x)$
因此，給定的對映是 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的線性變換，因為線性對映的任何線性組合也是線性對映。

問題 16

引理 1.16 表明線性函式的和是線性的，線性函式的標量倍是線性的。同時證明線性函式的複合也是線性的。

答案

(這個論點已經出現過，作為同構是等價關係的證明的一部分。) 令 $f:U\to V$ 和 $g:V\to W$ 是線性的。對於任何 ${\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2}\in U$ 和標量 $c_{1},c_{2}$ ，線性組合將被保留。

g\circ f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})=g(\,f(c_{1}{\vec {u}}_{1}+c_{2}{\vec {u}}_{2})\,)=g(\,c_{1}f({\vec {u}}_{1})+c_{2}f({\vec {u}}_{2})\,)

=c_{1}\cdot g(f({\vec {u}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {u}}_{2}))=c_{1}\cdot g\circ f({\vec {u}}_{1})+c_{2}\cdot g\circ f({\vec {u}}_{2})

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問題 17

當 $f:V\to W$ 是線性的，假設 $f({\vec {v}}_{1})={\vec {w}}_{1}$ ，…， $f({\vec {v}}_{n})={\vec {w}}_{n}$ ，對於來自 $W$ 的一些向量 ${\vec {w}}_{1}$ ，…， ${\vec {w}}_{n}$ 。

如果 ${\vec {w}}\,$ 的集合是線性無關的，那麼 ${\vec {v}}\,$ 的集合也必須線性無關嗎？
如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合是線性無關的，那麼 ${\vec {w}}\,$ 的集合也必須線性無關嗎？
如果 ${\vec {w}}\,$ 的集合生成 $W$ ，那麼 ${\vec {v}}\,$ 的集合必須生成 $V$ 嗎？
如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合生成 $V$ ，那麼 ${\vec {w}}\,$ 的集合必須生成 $W$ 嗎？

答案

是的。如果 ${\vec {v}}\,$ 的集合是線性相關的，那麼 ${\vec {w}}\,$ 的集合不能是線性無關的，因為在域中任何非平凡關係 ${\vec {0}}_{V}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ 都會在值域中產生非平凡關係 $f({\vec {0}}_{V})={\vec {0}}_{W}=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v}}_{n})=c_{1}{\vec {w}}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}$ 。
不一定是這樣。例如，由
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x+y\\x+y\end{pmatrix}}$
給出的 $\mathbb {R} ^{2}$ 變換將域中的線性無關集傳送到線性相關的像。
$\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\}\;\mapsto \;\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\}=\{{\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\}$
不一定是這樣。一個例子是投影對映 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 。
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
而這組集合不跨越定義域，但對映到跨越陪域的集合。
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$
不一定。例如，嵌入對映 $\iota :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 將定義域的標準基 ${\mathcal {E}}_{2}$ 對映到一組不跨越陪域的集合。 (備註。 然而， ${\vec {w}}$ 的集合確實跨越了值域。證明很簡單。)

習題 18

透過證明矩陣轉置對映是線性的，來推廣示例 1.15。定義域和陪域是什麼？

答案

回顧一下， $M$ 的轉置在第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素是 $M$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 列的元素 $m_{j,i}$ 。現在，檢查是例行公事。

{\begin{array}{rl}{{[r\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}]}^{\rm {trans}}}&={{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &ra_{i,j}+sb_{i,j}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\\&={\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &ra_{j,i}+sb_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}\\&=r\cdot {{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &a_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}+s\cdot {{\begin{pmatrix}&\vdots \\\cdots &b_{j,i}&\cdots \\&\vdots \end{pmatrix}}^{\rm {trans}}}\end{array}}

定義域是 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ ，而陪域是 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$ 。

問題 19

當 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 時，連線它們的線段定義為集合 $\ell =\{t\cdot {\vec {u}}+(1-t)\cdot {\vec {v}}\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$ 。證明在同態 $h$ 作用下， ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間線段的像，是 $h({\vec {u}})$ 和 $h({\vec {v}})$ 之間的線段。
$\mathbb {R} ^{n}$ 的一個子集被稱為凸集，如果對於該集合中的任意兩點，連線它們的線段完全位於該集合中。（球體的內部是凸的，而球體的表面不是。）證明從 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{m}$ 的線性對映保留了集合凸性的性質。

答案

對於任何同態 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ，我們有
$h(\ell )=\{h(t\cdot {\vec {u}}+(1-t)\cdot {\vec {v}})\,{\big |}\,t\in [0..1]\}=\{t\cdot h({\vec {u}})+(1-t)\cdot h({\vec {v}})\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$
即從 $h({\vec {u}})$ 到 $h({\vec {v}})$ 的線段。
我們需要證明如果定義域的一個子集是凸的，那麼它的像，作為值域的一個子集，也是凸的。假設 $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是凸的，並考慮它的像 $h(C)$ 。為了證明 $h(C)$ 是凸的，我們需要證明對於它的任意兩個成員， ${\vec {d}}_{1}$ 和 ${\vec {d}}_{2}$ ，連線它們的線段
$\ell =\{t\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-t)\cdot {\vec {d}}_{2}\,{\big |}\,t\in [0..1]\}$
是 $h(C)$ 的子集。固定該線段上的任何成員 ${\hat {t}}\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {d}}_{2}$ 。因為 $\ell$ 的端點在 $C$ 的像中， $C$ 中有成員對映到它們，例如 $h({\vec {c}}_{1})={\vec {d}}_{1}$ 和 $h({\vec {c}}_{2})={\vec {d}}_{2}$ 。現在，其中 ${\hat {t}}$ 是本段第一句話中固定的標量，觀察到 $h({\hat {t}}\cdot {\vec {c}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {c}}_{2})={\hat {t}}\cdot h({\vec {c}}_{1})+(1-{\hat {t}})\cdot h({\vec {c}}_{2})={\hat {t}}\cdot {\vec {d}}_{1}+(1-{\hat {t}})\cdot {\vec {d}}_{2}$ 因此， $\ell$ 的任何成員都是 $h(C)$ 的成員，因此 $h(C)$ 是凸的。

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問題 20

令 $h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 為同態。

證明在 $h$ 下， $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一條直線，其像是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一條（可能退化的）直線。
一個 $k$ 維線性曲面會發生什麼？

答案

對於 ${\vec {v}}_{0},{\vec {v}}_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ ，經過 ${\vec {v}}_{0}$ 且方向為 ${\vec {v}}_{1}$ 的直線是集合 $\{{\vec {v}}_{0}+t\cdot {\vec {v}}_{1}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 。在 $h$ 對映下的影像 $\{h({\vec {v}}_{0}+t\cdot {\vec {v}}_{1})\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}=\{h({\vec {v}}_{0})+t\cdot h({\vec {v}}_{1})\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 是經過 $h({\vec {v}}_{0})$ 且方向為 $h({\vec {v}}_{1})$ 的直線。如果 $h({\vec {v}}_{1})$ 是零向量，則這條直線是退化的。
在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，一個 $k$ 維線性表面對映到 $\mathbb {R} ^{m}$ 中的一個（可能是退化的） $k$ 維線性表面。證明過程與直線證明類似。

問題 21

證明同態限制到其定義域的子空間上仍為同態。

答案

假設 $h:V\to W$ 是一個同態，並假設 $S$ 是 $V$ 的一個子空間。考慮對映 ${\hat {h}}:S\to W$ ，其定義為 ${\hat {h}}({\vec {s}})=h({\vec {s}})$ 。（ ${\hat {h}}$ 與 $h$ 之間的唯一區別在於定義域。）則這個新對映是線性的： ${\hat {h}}(c_{1}\cdot {\vec {s}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {s}}_{2})=h(c_{1}{\vec {s}}_{1}+c_{2}{\vec {s}}_{2})=c_{1}h({\vec {s}}_{1})+c_{2}h({\vec {s}}_{2})=c_{1}\cdot {\hat {h}}({\vec {s}}_{1})+c_{2}\cdot {\hat {h}}({\vec {s}}_{2})$ .

問題 22

假設 $h:V\to W$ 是線性的。

證明該對映的 **值域** $\{h({\vec {v}})\,{\big |}\,{\vec {v}}\in V\}$ 是陪域 $W$ 的一個子空間。
證明這個對映的零空間 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}$ 是定義域 $V$ 的一個子空間。
證明如果 $U$ 是定義域 $V$ 的一個子空間，那麼它的像 $\{h({\vec {u}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U\}$ 是陪域 $W$ 的一個子空間。這推廣了第一條。
推廣第二條。

答案

這將在下一小節中作為引理出現。

值域是非空的，因為 $V$ 是非空的。為了完成證明，我們需要證明值域對線性組合封閉。值域向量的一個線性組合的形式如下，其中 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ ,
$c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +h(c_{n}{\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}),$
它本身也在值域中，因為 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 是定義域 $V$ 的一個元素。因此值域是一個子空間。
零空間是非空的，因為它包含 ${\vec {0}}_{V}$ ，因為 ${\vec {0}}_{V}$ 對映到 ${\vec {0}}_{W}$ 。它是關於線性組合封閉的，因為，在 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in V$ 是逆對映集合 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}$ 的元素時，對於 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$
${\vec {0}}_{W}=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})$
因此 $c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ 也在 ${\vec {0}}_{W}$ 的逆對映中。
這個 $U$ 的影像是非空的，因為 $U$ 是非空的。對於組合的封閉性，在 ${\vec {u}}_{1},\ldots ,{\vec {u}}_{n}\in U$ ，
$c_{1}\cdot h({\vec {u}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {u}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1})+\dots +h(c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n})=h(c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n})$
本身在 $h(U)$ 中，因為 $c_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {u}}_{n}$ 在 $U$ 中。因此，這組是一個子空間。
自然推廣是，一個子空間的逆像也是一個子空間。假設 $X$ 是 $W$ 的子空間。注意 ${\vec {0}}_{W}\in X$ ，所以集合 $\{{\vec {v}}\in V\,{\big |}\,h({\vec {v}})\in X\}$ 不為空。為了證明這個集合在組合下是封閉的，令 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ 是 $V$ 的元素，使得 $h({\vec {v}}_{1})={\vec {x}}_{1}$ ，…， $h({\vec {v}}_{n})={\vec {x}}_{n}$ ，並注意
$h(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot h({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}\cdot h({\vec {v}}_{n})=c_{1}\cdot {\vec {x}}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {x}}_{n}$
因此， $h^{-1}(X)$ 中元素的線性組合也屬於 $h^{-1}(X)$ 。

問題 23

考慮向量空間到自身的所有同構對映的集合。這個集合是否是空間 $\mathop {\mathcal {L}} (V,V)$ 的子空間，其中 $\mathop {\mathcal {L}} (V,V)$ 表示該空間到自身的同態對映？

答案

不是；同構對映的集合不包含零對映（除非該空間是平凡空間）。

問題 24

定理 1.9 是否需要 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 是一個基？也就是說，如果我們去掉 ${\vec {\beta }}$ 集合線性無關或張成定義域的條件，我們仍然可以得到一個定義良好且唯一的同態對映嗎？

答案

如果 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 沒有張成該空間，那麼該對映就不一定是唯一的。例如，如果我們試圖透過僅指定 ${\vec {e}}_{1}$ 被對映到自身來定義 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的對映，那麼存在多個同態對映；恆等對映和投影到第一個分量的對映都滿足這個條件。

如果我們放棄 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 線性無關的條件，那麼我們可能會遇到不一致的規範（即，可能不存在這樣的對映）。例如，如果我們考慮 $\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1},2{\vec {e}}_{1}\rangle$ ，並嘗試定義一個從 $\mathbb {R} ^{2}$ 到自身的對映，該對映將 ${\vec {e}}_{2}$ 對映到自身，並將 ${\vec {e}}_{1}$ 和 $2{\vec {e}}_{1}$ 都對映到 ${\vec {e}}_{1}$ 。沒有同態可以滿足這三個條件。

問題 25

令 $V$ 為一個向量空間，並假設對映 $f_{1},f_{2}:V\to \mathbb {R} ^{1}$ 是線性的。

定義一個對映 $F:V\to \mathbb {R} ^{2}$ ，其分量函式是給定的線性函式。
${\vec {v}}\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}})\\f_{2}({\vec {v}})\end{pmatrix}}$
證明 $F$ 是線性的。
反之是否成立——任何從 $V$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的線性對映都是由兩個到 $\mathbb {R} ^{1}$ 的線性分量對映組成的嗎？
推廣一下。

答案

簡而言之，線性檢查就是這樣。
$F(r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})={\begin{pmatrix}f_{1}(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})\\f_{2}(r_{1}{\vec {v}}_{1}+r_{2}{\vec {v}}_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}{\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}}_{1})\\f_{2}({\vec {v}}_{1})\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}}_{2})\\f_{2}({\vec {v}}_{2})\end{pmatrix}}=r_{1}\cdot F({\vec {v}}_{1})+r_{2}\cdot F({\vec {v}}_{2})$
是的。令 $\pi _{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$ 和 $\pi _{2}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}$ 為投影
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{1}}{\longmapsto }}x\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{2}}{\longmapsto }}y$
到兩個軸上。現在，當 $f_{1}({\vec {v}})=\pi _{1}(F({\vec {v}}))$ 和 $f_{2}({\vec {v}})=\pi _{2}(F({\vec {v}}))$ ，我們得到了期望的元件函式。
$F({\vec {v}})={\begin{pmatrix}f_{1}({\vec {v}})\\f_{2}({\vec {v}})\end{pmatrix}}$
它們是線性的，因為它們是線性函式的複合，線性函式的複合是線性的這一事實已在同構是等價關係的證明中得到證明（或者，檢查它們是線性的直接且簡單）。
一般情況下，從向量空間 $V$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的對映是線性的當且僅當每個元件函式都是線性的。驗證與前一項相同。