線性代數/行列式

行列式是一個函式，它將一個方陣關聯到其定義域上的一個元素（通常是實數或複數）。行列式需要滿足以下性質

• 它關於矩陣的行是線性的。

$\det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

• 如果矩陣有兩行相等，則它的行列式為零。
• 單位矩陣的行列式為1。

可以證明$\det A=\det A^{T}$，使得行列式關於行的定義等於關於列的定義。

性質

• 行列式為零當且僅當行線性相關。
• 交換兩行會改變行列式的符號

$\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}$

• 行列式是一個乘法對映，其含義是

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$ 對於所有n×n矩陣$A$和$B$。

這被比內-柯西公式推廣到非方陣的乘積。

• 很容易看出$\det(rI_{n})=r^{n}\,$，因此

對於所有 $n$ × $n$ 矩陣 $A$ 和所有標量 $r$，都有$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$。

• 在交換環 R 上的矩陣可逆當且僅當它的行列式是 R 中的單位。特別是，如果 A 是在像實數或複數這樣的域上的矩陣，則 A 可逆當且僅當 det(A) 不為零。在這種情況下，我們有

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

換句話說：Rⁿ 中的向量 v₁,...,v_n 形成一個基當且僅當 det(v₁,...,v_n) 不為零。

矩陣與其轉置具有相同的行列式

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

複數矩陣及其共軛轉置的行列式是共軛的

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$

定理

存在性

使用拉普拉斯公式計算行列式

比內-柯西公式

$\det(AB)=\det A\cdot \det B$