線性代數/行列式存在/解

解

這些總結了本書中使用的$2$-和$3$-排列的符號。

${\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}$

問題 1

給出一般$2\!\times \!2$矩陣及其轉置的排列展開式。

答案

這是$2\!\times \!2$矩陣行列式的排列展開式

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+bc\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

以及其轉置的行列式的排列展開式。

${\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+cb\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

與小節中描述的$3\!\times \!3$展開式一樣，對應項的排列矩陣是轉置的（儘管這一點被每個矩陣都是自身轉置的事實所掩蓋）。

建議所有讀者做這道練習。

問題 2

這個問題也出現在前面的小節中。

1. 找到每個$2$-排列的逆。
2. 找到每個$3$-排列的逆。

答案

這些都很容易檢查。

1. 排列	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$
   逆	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$

2. 排列	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{4}$	$\phi _{5}$	$\phi _{6}$
   逆	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{5}$	$\phi _{4}$	$\phi _{6}$

建議所有讀者做這道練習。

問題 3

1. 找到每個$2$-排列的符號。
2. 找到每個$3$-排列的符號。

答案

1. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$
2. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{3})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{4})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{5})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{6})=-1$

問題 4

n-排列$\phi =\langle n,n-1,\dots ,2,1\rangle$的符號是什麼？(Strang 1980)

答案

模式是這樣的。

${\begin{array}{c|ccccccc}i&1&2&3&4&5&6&\ldots \\\hline \operatorname {sgn}(\phi _{i})&+1&-1&-1&+1&+1&-1&\ldots \end{array}}$

因此，為了找到$\phi _{n!}$ 的符號，我們將 $n!-1$ 減 1，然後檢視其除以 4 的餘數。如果餘數是 $1$ 或 $2$，則符號是 $-1$，否則符號是 $+1$。對於 $n>4$，數字 $n!$ 可以被 4 整除，所以 $n!-1$ 除以 4 的餘數是 $-1$（更確切地說，餘數為 $3$），因此符號為 $+1$。 $n=1$ 的符號是 $+1$，$n=2$ 的符號是 $-1$，而 $n=3$ 的符號是 $-1$。

問題 5

證明以下幾點。

1. 每個排列都有一個逆排列。
2. $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\phi )$
3. 每個排列都是另一個排列的逆排列。

答案

1. 排列可以看作是一一對映和滿射對映 $\phi :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$。任何一一對映和滿射對映都有一個逆對映。
2. 如果從 $P_{\phi }$ 到單位排列總是需要奇數次交換，那麼從單位排列到 $P_{\phi }$ 也總是需要奇數次交換（任何交換都是可逆的）。
3. 這是第一個問題。

問題 6

證明置換逆矩陣是置換矩陣的轉置$P_{\phi ^{-1}}={{P_{\phi }}^{\rm {trans}}}$，對於任何置換$\phi$。

答案

如果$\phi (i)=j$ 那麼$\phi ^{-1}(j)=i$。該結果現在遵循以下觀察結果：$P_{\phi }$ 在條目$i,j$ 中有$1$ 當且僅當$\phi (i)=j$，並且$P_{\phi ^{-1}}$ 在條目$j,i$ 中有$1$ 當且僅當$\phi ^{-1}(j)=i$，

建議所有讀者做這道練習。

問題 7

證明具有$m$ 個逆序的置換矩陣可以透過$m$ 步行交換行變為單位矩陣。將此與 推論 4.6 進行對比。

答案

這並不意味著$m$ 是生成單位矩陣所需的最少交換次數，也不意味著$m$ 是最多次數。相反，它表明存在一種方法，可以透過恰好$m$ 步交換行。

設$\iota _{j}$ 是第一行，相對於之前的一行發生逆序，設$\iota _{k}$ 是給出該逆序的第一行。我們有此行區間。

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{k}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{j}\\\vdots \end{pmatrix}}\qquad j<k<r_{1}<\dots <r_{s}$

交換。

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{j}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{k}\\\vdots \end{pmatrix}}$

第二個矩陣比第一個矩陣少一個逆序對，因為區間 ($s$ vs. $s+1$) 中的逆序對少了一個，而涉及區間之外行的逆序對不受影響。

以這種方式繼續，在每一步中，每次行交換都減少一個逆序對。當沒有剩餘的逆序對時，結果就是單位矩陣。

與 推論 4.6 的對比在於，本練習的陳述是一個“存在”語句：存在一種方法可以在恰好 $m$ 步中交換到單位矩陣。但是，該推論是一個“對所有”語句：對於所有交換到單位矩陣的方式，奇偶性（偶數或奇數）是相同的。

建議所有讀者做這道練習。

問題 8

對於任何排列 $\phi$，令 $g(\phi )$ 是以這種方式定義的整數。

$g(\phi )=\prod _{i<j}[\phi (j)-\phi (i)]$

(這是所有指標 $i$ 和 $j$ 且 $i<j$ 的給定形式的項的乘積。)

1. 計算所有 $2$-排列上的 $g$ 的值。
2. 計算所有 $3$-排列上的 $g$ 的值。
3. 證明這一點。

   $\operatorname {sgn}(\phi )={\frac {g(\phi )}{|g(\phi )|}}$

許多作者將此公式作為符號函式的定義。

答案

1. 首先，$g(\phi _{1})$ 是單個因子 $2-1$ 的乘積，因此 $g(\phi _{1})=1$。其次，$g(\phi _{2})$ 是單個因子 $1-2$ 的乘積，因此 $g(\phi _{2})=-1$。
2. ${\begin{array}{r|cccccc}{\text{permutation }}\phi &\phi _{1}&\phi _{2}&\phi _{3}&\phi _{4}&\phi _{5}&\phi _{6}\\\hline g(\phi )&2&-2&-2&2&2&-2\end{array}}$
3. 請注意，$\phi (j)-\phi (i)$ 為負當且僅當 $\iota _{\phi (j)}$ 和 $\iota _{\phi (i)}$ 處於它們通常順序的反轉中。

參考資料

• Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (2nd ed.), Hartcourt Brace Javanovich