線性代數/直和

令V為向量空間，令H₁，H₂，H₃，…，H_n都是V的子空間。當滿足以下條件時，V被定義為H₁，H₂，H₃，…，H_n的直和：

1. 對於V中的每一個x，都存在H_n中的x_n，使得
   
   $x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}$
2. 當x_n和y_n都在H_n中時
   
   $\sum _{i=1}^{n}x_{n}=\sum _{i=1}^{n}y_{n}$
   
   意味著x_n=y_n。

第二個條件可以很容易地被證明等同於以下陳述：

當x_n是H_n中的元素時，則

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$

意味著所有x_n也等於0。

由於第二個條件，直和中涉及的任意兩個子空間的交集是單元素{0}，其中0是零向量。這意味著所有n維空間都是n個一維子空間的直和。

定理

如果V是一個向量空間，那麼對於任何子空間H，都存在一個子空間G，使得V是H和G的直和。

證明

令{e₁，e₂，…，e_k}是H的基。它可以擴充套件為V的基，例如，{e₁，e₂，…，e_n}。那麼由{e_k+1，e_k+2，…，e_n}所生成的子空間G使得V是H和G的直和。

一般和

給定一個向量空間V，以及H₁，H₂，H₃，…，H_n都是V的子空間，那麼當V的所有元素都可以表示為H₁，H₂，H₃，…，H_n中的元素之和時，V是H₁，H₂，H₃，…，H_n的和。

練習

1. 證明第二個條件等同於以下陳述
   
   當x_n是H_n中的元素時，則
   
   $x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$
2. 證明直和中涉及的任意兩個子空間的交集是單元素{0}，其中0是零向量。