線性代數/特徵值和特徵向量

在本節中，我們將重點關注推論 2.4的屬性。

定義 3.1

一個變換$t:V\to V$ 有一個標量特徵值 $\lambda$，如果存在一個非零特徵向量 ${\vec {\zeta }}\in V$ 使得 $t({\vec {\zeta }})=\lambda \cdot {\vec {\zeta }}$。

("Eigen" 是德語，意思是 "特徵" 或 "獨特"；有些作者稱這些為特徵值和向量。沒有作者稱它們為 "獨特的"。)

示例 3.2

投影對映

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad x,y,z\in \mathbb {C}$

有一個特徵值為 $1$，與以下形式的任何特徵向量相關聯：

${\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$

其中 $x$ 和 $y$ 是標量，其中至少一個是非 $0$。另一方面， $2$ 不是 $\pi$ 的特徵值，因為沒有非 ${\vec {0}}$ 向量被加倍。

這個例子說明了為什麼“非-${\vec {0}}$”出現在定義中。不允許${\vec {0}}$ 作為特徵向量將消除平凡特徵值。

示例 3.3

平凡空間$\{{\vec {0}}\,\}$ 上唯一的變換是

${\vec {0}}\mapsto {\vec {0}}$.

這個對映沒有特徵值，因為沒有非-${\vec {0}}$ 向量${\vec {v}}$ 被對映到它們自身的標量倍數$\lambda \cdot {\vec {v}}$。

示例 3.4

考慮同態$t:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$，由$c_{0}+c_{1}x\mapsto (c_{0}+c_{1})+(c_{0}+c_{1})x$ 給出。的範圍$t$ 是一個維度的。因此，將$t$ 應用於範圍內的向量將簡單地重新縮放該向量：$c+cx\mapsto (2c)+(2c)x$。也就是說，$t$ 具有$2$ 的特徵值，它與形式為$c+cx$ 的特徵向量相關，其中$c\neq 0$。

此地圖的特徵值為 $0$，與形式為 $c-cx$ 的特徵向量相關聯，其中 $c\neq 0$。

定義 3.5

方陣 $T$ 具有一個標量特徵值 $\lambda$，與非零特徵向量 ${\vec {\zeta }}$ 相關聯，如果 $T{\vec {\zeta }}=\lambda \cdot {\vec {\zeta }}$。

備註 3.6

雖然從對映到矩陣的這種擴充套件是顯而易見的，但有一點必須說明。對映的特徵值也是表示該對映的矩陣的特徵值，因此相似矩陣具有相同的特徵值。但特徵向量則不同——相似矩陣不一定具有相同的特徵向量。

例如，再次考慮變換 $t:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$，由 $c_{0}+c_{1}x\mapsto (c_{0}+c_{1})+(c_{0}+c_{1})x$ 給出。它具有一個特徵值為 $2$，與形式為 $c+cx$ 的特徵向量相關聯，其中 $c\neq 0$。如果我們用 $B=\langle 1+1x,1-1x\rangle$ 來表示 $t$

$T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}$

然後 $2$ 是 $T$ 的特徵值，與這些特徵向量相關聯。

$\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2c_{0}\\2c_{1}\end{pmatrix}}\}=\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{0}\in \mathbb {C} ,\,c_{0}\neq 0\}$

另一方面，將 $t$ 相對於 $D=\langle 2+1x,1+0x\rangle$ 表示給出

$S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}}$

並且 $S$ 與特徵值 $2$ 相關聯的特徵向量是這些。

$\{{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2c_{0}\\2c_{1}\end{pmatrix}}\}=\{{\begin{pmatrix}0\\c_{1}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1}\in \mathbb {C} ,\,c_{1}\neq 0\}$

因此，相似矩陣可以具有不同的特徵向量。

這裡是對正在發生的事情的非正式描述。底層轉換將特徵向量 ${\vec {v}}\mapsto 2\cdot {\vec {v}}$ 乘以 2。但當表示變換的矩陣為 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 時，它“假設”列向量是關於 $B$ 的表示。相比之下，$S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ “假設”列向量是關於 $D$ 的表示。因此，每個矩陣乘以 2 的向量看起來都不一樣。

下一個例子說明了尋找特徵向量和特徵值的常用方法。

例 3.7

這個矩陣的特徵值和特徵向量是什麼？

$T={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&-2\\-1&2&3\end{pmatrix}}$

要找到標量 $x$ 使得 $T{\vec {\zeta }}=x{\vec {\zeta }}$ 對非零特徵向量 ${\vec {\zeta }}$ 成立，將所有項移到左側

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&-2\\-1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}-x{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\vec {0}}$

並分解為 $(T-xI){\vec {\zeta }}={\vec {0}}$。（注意它說的是 $T-xI$；表示式 $T-x$ 沒有意義，因為 $T$ 是一個矩陣，而 $x$ 是一個標量。）這個齊次線性系統

${\begin{pmatrix}1-x&2&1\\2&0-x&-2\\-1&2&3-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

只有當矩陣是奇異矩陣時，該方程才有非零解。我們可以確定這種情況何時發生。

${\begin{array}{rl}0&=\left|T-xI\right|\\&={\begin{vmatrix}1-x&2&1\\2&0-x&-2\\-1&2&3-x\end{vmatrix}}\\&=x^{3}-4x^{2}+4x\\&=x(x-2)^{2}\end{array}}$

特徵值為 $\lambda _{1}=0$ 和 $\lambda _{2}=2$。要找到相關的特徵向量，將每個特徵值代入。代入 $\lambda _{1}=0$，得到

${\begin{pmatrix}1-0&2&1\\2&0-0&-2\\-1&2&3-0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\-a\\a\end{pmatrix}}$

對於標量引數 $a\neq 0$ （$a$ 是非零值，因為特徵向量必須是非零向量）。同樣地，代入 $\lambda _{2}=2$，得到

${\begin{pmatrix}1-2&2&1\\2&0-2&-2\\-1&2&3-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\z_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\b\end{pmatrix}}$

其中 $b\neq 0$.

示例 3.8

如果

$S={\begin{pmatrix}\pi &1\\0&3\end{pmatrix}}$

(這裡 $\pi$ 不是投影對映，它是數字 $3.14\ldots$) 則

$\left|{\begin{pmatrix}\pi -x&1\\0&3-x\end{pmatrix}}\right|=(x-\pi )(x-3)$

所以 $S$ 的特徵值為 $\lambda _{1}=\pi$ 和 $\lambda _{2}=3$。為了找到相關的特徵向量，首先將 $\lambda _{1}$ 代入 $x$

${\begin{pmatrix}\pi -\pi &1\\0&3-\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$

對於一個標量 $a\neq 0$，然後代入 $\lambda _{2}$

${\begin{pmatrix}\pi -3&1\\0&3-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-b/(\pi -3)\\b\end{pmatrix}}$

其中 $b\neq 0$.

定義 3.9

方陣 $T$ 的特徵多項式是矩陣 $T-xI$ 的行列式，其中 $x$ 是一個變數。特徵方程是 $\left|T-xI\right|=0$。變換 $t$ 的特徵多項式是任何 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的多項式。

問題 11 檢查變換的特徵多項式是定義良好的，也就是說，任何基的選擇都產生相同的多項式。

引理 3.10

非平凡向量空間上的線性變換至少有一個特徵值。

證明

特徵多項式的任何根都是特徵值。在複數域上，任何一階或更高階的多項式都具有根。（這就是本章我們使用複數作為標量的原因。）

注意以上例子中特徵向量集合的熟悉形式。

定義 3.11

變換 $t$ 與特徵值 $\lambda$ 相關的特徵空間是 $V_{\lambda }=\{{\vec {\zeta }}\,{\big |}\,t({\vec {\zeta }}\,)=\lambda {\vec {\zeta }}\,\}\cup \{{\vec {0}}\,\}$。矩陣的特徵空間的定義類似。

引理 3.12

特徵空間是一個子空間。

證明

特徵空間必須是非空的——例如，它包含零向量——因此我們只需要檢查閉包。取來自 $V_{\lambda }$ 的向量 ${\vec {\zeta }}_{1},\ldots ,{\vec {\zeta }}_{n}$，以表明任何線性組合都在 $V_{\lambda }$ 中。

${\begin{array}{rl}t(c_{1}{\vec {\zeta }}_{1}+c_{2}{\vec {\zeta }}_{2}+\cdots +c_{n}{\vec {\zeta }}_{n})&=c_{1}t({\vec {\zeta }}_{1})+\dots +c_{n}t({\vec {\zeta }}_{n})\\&=c_{1}\lambda {\vec {\zeta }}_{1}+\dots +c_{n}\lambda {\vec {\zeta }}_{n}\\&=\lambda (c_{1}{\vec {\zeta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\zeta }}_{n})\end{array}}$

(即使任何 ${\vec {\zeta }}_{i}$ 是 ${\vec {0}}$ 由於 $t({\vec {0}})=\lambda \cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ )。

示例 3.13

在 示例 3.8 中，與特徵值 $\pi$ 關聯的特徵空間和與特徵值 $3$ 關聯的特徵空間分別是這些。

$V_{\pi }=\{{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}\qquad V_{3}=\{{\begin{pmatrix}-b/\pi -3\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$

示例 3.14

在 示例 3.7 中，這些是與特徵值 $0$ 和 $2$ 關聯的特徵空間。

$V_{0}=\{{\begin{pmatrix}a\\-a\\a\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \},\qquad V_{2}=\{{\begin{pmatrix}b\\0\\b\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}.$

注 3.15

特徵方程為 $0=x(x-2)^{2}$，因此在某種意義上，$2$ 是一個“兩倍”的特徵值。然而，特徵向量的數量並不“兩倍”，因為特徵空間的維數為 1，而不是 2。下一個例子顯示了一個數字，$1$，是特徵方程的二重根，並且相關特徵空間的維數為 2。

例 3.16

關於標準基，此矩陣

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

表示投影。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\qquad x,y,z\in \mathbb {C}$

與特徵值 $0$ 相關的特徵空間及其與特徵值 $1$ 相關的特徵空間很容易找到。

$V_{0}=\{{\begin{pmatrix}0\\0\\c_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{3}\in \mathbb {C} \}\qquad V_{1}=\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} \}$

根據引理，如果兩個特徵向量 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 與同一個特徵值相關聯，則這兩個向量的任何線性組合也是與該特徵值相關聯的特徵向量。但是，如果兩個特徵向量 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 與不同的特徵值相關聯，則它們的和 ${\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}$ 不一定與任何一個特徵值相關。事實上，恰恰相反。如果特徵值不同，則特徵向量線性無關。

定理 3.17

對於對映或矩陣的任何一組不同的特徵值，其對應的特徵向量集合（每個特徵值對應一個特徵向量）是線性無關的。

證明

我們將使用關於特徵值數量的歸納法。如果沒有特徵值或只有一個特徵值，則對應的特徵向量集合為空集或僅包含一個非零成員的單元素集合，在任何情況下，它們都是線性無關的。

為進行歸納，假設該定理對任何包含 $k$ 個不同特徵值的集合成立，假設 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k+1}$ 是不同的特徵值，並設 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k+1}$ 是對應的特徵向量。如果 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}+c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1}={\vec {0}}$，則用 $\lambda _{k+1}$ 乘以顯示方程的兩邊，將對映或矩陣應用於顯示方程的兩邊，然後將第一個結果從第二個結果中減去，我們將得到以下結果。

$c_{1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{1}){\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k}){\vec {v}}_{k}+c_{k+1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k+1}){\vec {v}}_{k+1}={\vec {0}}$

歸納假設現在適用：$c_{1}(\lambda _{k+1}-\lambda _{1})=0,\dots ,c_{k}(\lambda _{k+1}-\lambda _{k})=0$。因此，由於所有特徵值都是不同的，$c_{1},\,\dots ,\,c_{k}$ 都是 $0$。最後，現在 $c_{k+1}$ 必須是 $0$ 因為我們只剩下方程 ${\vec {v}}_{k+1}\neq {\vec {0}}$。

示例 3.18

的特徵值

${\begin{pmatrix}2&-2&2\\0&1&1\\-4&8&3\end{pmatrix}}$

是不同的：$\lambda _{1}=1$，$\lambda _{2}=2$，以及 $\lambda _{3}=3$。一組相關的特徵向量，如

$\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\4\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}\}$

是線性無關的。

推論 3.19

一個 $n\!\times \!n$ 矩陣，具有 $n$ 個不同的特徵值是可對角化的。

證明

形成一個特徵向量基。應用 推論 2.4。

練習

問題 1

對於每個，找到特徵多項式和特徵值。

1. ${\begin{pmatrix}10&-9\\4&-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0&3\\7&0\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

本練習建議所有讀者完成。

問題 2

對於每個矩陣，求特徵方程，以及特徵值和相應的特徵向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\8&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}}$

問題 3

求該矩陣的特徵方程，以及特徵值和相應的特徵向量。提示：特徵值為複數。

${\begin{pmatrix}-2&-1\\5&2\end{pmatrix}}$

問題 4

求該矩陣的特徵多項式、特徵值和相應的特徵向量。

${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

本練習建議所有讀者完成。

問題 5

對於每個矩陣，求特徵方程，以及特徵值和相應的特徵向量。

1. ${\begin{pmatrix}3&-2&0\\-2&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{pmatrix}}$

本練習建議所有讀者完成。

問題 6

設 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 為

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mapsto (5a_{0}+6a_{1}+2a_{2})-(a_{1}+8a_{2})x+(a_{0}-2a_{2})x^{2}.$

求其特徵值和相應的特徵向量。

問題 7

找到該對映的特徵值和特徵向量 $t:{\mathcal {M}}_{2}\to {\mathcal {M}}_{2}$.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2c&a+c\\b-2c&d\end{pmatrix}}$

本練習建議所有讀者完成。

問題 8

求微分運算元的特徵值和相關特徵向量 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$.

問題 9

證明

三角矩陣（上三角或下三角）的特徵值是其對角線上的元素。

本練習建議所有讀者完成。

問題 10

求 $2\!\times \!2$ 矩陣的特徵多項式公式。

問題 11

證明變換的特徵多項式是定義良好的。

本練習建議所有讀者完成。

問題 12

1. 任何非零向量在任何非平凡向量空間中都可以是特徵向量嗎？也就是說，給定一個非零向量 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ 來自非平凡向量空間 $V$，是否存在變換 $t:V\to V$ 和一個標量 $\lambda \in \mathbb {R}$ 使得 $t({\vec {v}})=\lambda {\vec {v}}$?
2. 給定一個標量 $\lambda$，任何非零向量在任何非平凡向量空間中都可以是與特徵值 $\lambda$ 相關的特徵向量嗎？

本練習建議所有讀者完成。

問題 13

假設 $t:V\to V$ 且 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$。證明 $T$ 與 $\lambda$ 相關的特徵向量是 $T-\lambda I$（關於相同基底表示的）所表示的對映的核中的非 ${\vec {0}}$ 向量。

問題 14

證明如果 $a,\ldots ,\,d$ 都是整數並且 $a+b=c+d$ 那麼

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

具有整數特徵值，即 $a+b$ 和 $a-c$.

本練習建議所有讀者完成。

問題 15

證明如果 $T$ 是非奇異的並且具有特徵值 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ 那麼 $T^{-1}$ 具有特徵值 $1/\lambda _{1},\dots ,1/\lambda _{n}$。反過來是否成立？

本練習建議所有讀者完成。

問題 16

假設 $T$ 是 $n\!\times \!n$ 並且 $c,d$ 是標量。

1. 證明如果 $T$ 有特徵值 $\lambda$，且其對應的特徵向量為 ${\vec {v}}$，那麼 ${\vec {v}}$ 是 $cT+dI$ 的特徵向量，其對應的特徵值為 $c\lambda +d$.
2. 證明如果 $T$ 是可對角化的，那麼 $cT+dI$ 也是可對角化的。

本練習建議所有讀者完成。

問題 17

證明 $\lambda$ 是 $T$ 的特徵值當且僅當由 $T-\lambda I$ 表示的對映不是同構。

問題 18

1. 證明如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，那麼 $\lambda ^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特徵值。
2. 這個證明有什麼問題？它將“如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，而 $\mu$ 是 $B$ 的特徵值，那麼 $\lambda \mu$ 是 $AB$ 的特徵值，因為如果 $A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$ 並且 $B{\vec {x}}=\mu {\vec {x}}$，那麼 $AB{\vec {x}}=A\mu {\vec {x}}=\mu A{\vec {x}}=\mu \lambda {\vec {x}}$”?

(Strang 1980)

問題 19

矩陣等價矩陣是否具有相同的特徵值？

問題 20

證明具有實數項和奇數行數的方陣至少有一個實特徵值。

問題 21

對角化。

${\begin{pmatrix}-1&2&2\\2&2&2\\-3&-6&-6\end{pmatrix}}$

問題 22

假設 $P$ 是一個非奇異 $n\!\times \!n$ 矩陣。證明 **相似變換** 對映 $t_{P}:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$，它將 $T\mapsto PTP^{-1}$，是一個同構。

? 問題 23

證明如果$A$是一個$n$階方陣，並且每行（列）的總和為$c$，那麼$c$是$A$的特徵根。(Morrison 1967)

解答

參考文獻

• Morrison, Clarence C. (proposer) (1967), "Quickie", Mathematics Magazine, 40 (4): 232.
• Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (Second ed.), Harcourt Brace Jovanovich.