線性代數/一般 = 特解 + 齊次解/解

解

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問題 1

解每個系統。使用向量表示解集。確定特解和齊次系統的解集。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

答案

對於這些算術，請參見上一小節的答案。

1. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

   這裡，特解和相關齊次系統的解集為

   ${\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

2. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}$

3. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}.$

4. 解集是單元素集

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}.$

5. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

6. 該系統的解集為空。因此，沒有特定的解。相關齊次系統的解集為

   $\{{\begin{pmatrix}-1\\2\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

問題 2

求解每個系統，並以向量表示法給出解集。識別特解和齊次系統的解。

1. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

答案

前面小節的答案顯示了行操作。

1. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

2. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}.$

3. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}.$

4. 解集為

   $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}.$

   特殊解和關聯齊次系統的解集是

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}.$

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問題 3

對於系統

${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&y&&&-&w&=&3\\&&y&+&z&+&2w&=&2\\x&-&2y&-&z&&&=&-1\end{array}}$

哪些可以作為某個通解的特解部分？

1. ${\begin{pmatrix}0\\-3\\5\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\-4\\8\\-1\end{pmatrix}}$

答案

將它們代入，看看是否滿足所有三個等式。

1. 不。
2. 是。
3. 是。

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問題 4

引理 3.8 指出，任何特解都可以用作 ${\vec {p}}$。如果可能，求解該系統的通解

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&+&w&=&4\\2x&+&3y&-&z&&&=&0\\&&y&+&z&+&w&=&4\end{array}}$

使用給定的向量作為其特解。

1. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-5\\1\\-7\\10\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\1\end{pmatrix}}$

答案

對相關齊次系統使用高斯消元法得到

$\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\2&3&-1&0&0\\0&1&1&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\0&5&-1&-2&0\\0&1&1&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&-1&0&1&0\\0&5&-1&-2&0\\0&0&6/5&7/5&0\end{array}}\right)$

所以，這是齊次問題的解

$\{{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

1. 該向量確實是一個特解，所以所求的通解是

   $\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

2. 該向量是一個特解，所以所求的通解是

   $\{{\begin{pmatrix}-5\\1\\-7\\10\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/6\\1/6\\-7/6\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

3. 該向量不是方程組的解，因為它不滿足第三個方程。不存在這樣的通解。

問題 5

其中一個是奇異的，另一個是非奇異的。哪個是哪個？

1. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&-12\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&12\end{pmatrix}}$

答案

第一個是非奇異的，而第二個是奇異的。只需使用高斯消元法，然後檢視梯形形式的結果在對角線上的每個條目是否是非零。

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問題 6

奇異還是非奇異？

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\end{pmatrix}}$ (小心！)
4. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&3\\3&4&7\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}2&2&1\\1&0&5\\-1&1&4\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇異

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\end{array}}$

   最終每行都包含一個主元。
2. 奇異

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

   最終第 2 行沒有主元。
3. 都不是。矩陣必須是方陣才能應用這兩個詞。
4. 奇異。
5. 非奇異。

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問題 7

給定向量是否在給定集合生成的集合中？

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}\}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}\}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},$ $\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\\2\end{pmatrix}}\}$

答案

在每種情況下，我們必須判斷向量是否是集合中向量的線性組合。

1. 是。解

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$

   與

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\4&5&3\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-4\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&1&-5\end{array}}\right)\end{array}}$

   得出結論，有 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 來得到這個組合。
2. 否。化簡

   $\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\1&0&0\\0&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\0&-1/2&1/2\\0&1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&1&-1\\0&-1/2&1/2\\0&0&2\end{array}}\right)$

   表明

   $c_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}$

   無解。
3. 是的。化簡

   $\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\4&5&0&1&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-4\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\0&-3&-12&-15&-4\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&2&3&4&1\\0&1&3&2&3\\0&0&-3&-9&5\end{array}}\right)$

   表明有無窮多種方法

   $\{{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\c_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10\\8\\-5/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-9\\7\\-3\\1\end{pmatrix}}c_{4}\,{\big |}\,c_{4}\in \mathbb {R} \}$

   來寫

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}}+c_{4}{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}.$

4. 不，看看第三個分量。

問題 8

證明任何係數矩陣為非奇異矩陣的線性方程組都有解，且解是唯一的。

答案

因為係數矩陣是非奇異矩陣，所以高斯消元法最終得到一個階梯形，其中每個變數都對應一個方程。回代可以得到一個唯一的解。

(另一個看待解唯一性的方法是注意到，根據定義，當係數矩陣為非奇異矩陣時，與之相關的齊次方程組有唯一解。由於通解是特解與每個齊次解之和，所以通解最多隻有一個元素。)

問題 9

說實話，引理 3.7 的證明中還有一個棘手的點。如果不存在非“$0=0$" 方程怎麼辦？(此後就沒有其他棘手的點。)

答案

在這種情況下，解集是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的全體，可以表示為所需形式

$\{c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R} \}.$

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問題 10

證明如果 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {t}}$ 滿足一個齊次方程組，那麼這些向量也滿足。

1. ${\vec {s}}+{\vec {t}}$
2. $3{\vec {s}}$
3. $k{\vec {s}}+m{\vec {t}}$ 對於 $k,m\in \mathbb {R}$

"這三個結果表明，如果一個齊次方程組有一個解，那麼它就有很多解——任何一個解的倍數都是另一個解，任何解的和也是一個解——所以沒有齊次方程組恰好只有一個解。" 這種說法錯在哪裡？

答案

假設 ${\vec {s}},{\vec {t}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 並寫出

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad {\vec {t}}={\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}.$

同時令 $a_{i,1}x_{1}+\cdots +a_{i,n}x_{n}=0$ 是齊次線性方程組中的第 $i$ 個方程。

1. 驗證很簡單

   ${\begin{array}{rcl}a_{i,1}(s_{1}+t_{1})+\cdots +a_{i,n}(s_{n}+t_{n})&=&(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})+(a_{i,1}t_{1}+\cdots +a_{i,n}t_{n})\\&=&0+0.\end{array}}$

2. 這個類似

   $a_{i,1}(3s_{1})+\cdots +a_{i,n}(3s_{n})=3(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})=3\cdot 0=0.$

3. 這個也不難

   ${\begin{array}{rcl}a_{i,1}(ks_{1}+mt_{1})+\cdots +a_{i,n}(ks_{n}+mt_{n})&=&k(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})+m(a_{i,1}t_{1}+\cdots +a_{i,n}t_{n})\\&=&k\cdot 0+m\cdot 0.\end{array}}$

該論證的錯誤在於，零向量的任何線性組合仍然是零向量。

問題 11

證明如果一個只有有理係數和常數的方程組有解，那麼它至少有一個全有理解。它必須有無窮多解嗎？

答案

首先證明。

高斯消元法只使用有理數（例如 $-(m/n)\rho _{i}+\rho _{j}$）。因此，解集可以用只有有理數作為每個向量分量的形式表示。現在，特解都是有理數。

當且僅當相關的齊次線性方程組有無窮多（實向量）解時，才有無窮多（有理向量）解。這是因為將任何引數設定為有理數將生成一個全有理解。