線性代數/齊次線性方程組

齊次線性方程組是指形如以下的線性方程組：

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=0$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=0$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=0$

當所有 x_n 都等於 0 時，稱為平凡解。

考慮係數矩陣

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

A 的列向量線性組合，其和等於 0 向量，是該齊次線性方程組的一個解。當 A 的列向量線性相關時，會存在非平凡解，即並非所有 x_n 都等於 0 的解。這種情況發生在 A 的秩小於列向量數量時。然而，如果秩等於列向量數量，則所有列向量都線性無關，此時唯一的解就是平凡解。