線性代數/內積空間

回顧一下你在向量研究中，我們研究了一個稱為點積的操作，如果我們在Rⁿ中擁有兩個向量，我們只需將它們的成分相乘並加起來。有了點積，就可以引入重要的新概念，例如長度和角度。向量的長度，$\mathbf {a}$，就是 $||\mathbf {a} ||={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$。兩個向量之間的角度，$\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$，與點積的關係如下

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||||\mathbf {b} ||}}$

事實證明，點積的幾個屬性足以在除Rⁿ以外的其他向量空間中定義類似的概念，例如$m\times n$ 矩陣或多項式空間。在這些其他空間中取代點積的更一般運算稱為“內積”。

內積

假設我們有兩個向量

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}}$

如果我們想要取它們的點積，我們會按如下方式進行

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(2)(6)+(1)(3)+(4)(0)=15$

因為在這種情況下乘法是可交換的，所以我們有a·b = b · a。

但隨後，我們觀察到

$\mathbf {v} \cdot (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )=\alpha \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} +\beta \mathbf {v} \cdot \mathbf {b}$

就像一般的代數等式v(aA+bB)=avA+bvB。對於一般的點積，這是成立的，因為例如，對於R³，我們可以將兩邊展開得到

${\begin{matrix}(\alpha v_{1}a_{1}+\beta v_{1}b_{1})+(\alpha v_{2}a_{2}+\beta v_{2}b_{2})+(\alpha v_{2}a_{2}+\beta v_{2}b_{2})=\\(\alpha v_{1}a_{1}+\alpha v_{2}a_{2}+\alpha v_{3}a_{3})+(\beta v_{1}b_{1}+\beta v_{2}b_{2}+\beta v_{3}+b_{3})\end{matrix}}$

最後，我們可以注意到 * **v** * · * **v** * 始終為正數或大於零 - 檢查 **R** ³ 得到：

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$

由於實數平方始終為正數，因此它永遠不會小於零。注意，當且僅當 * **v** * = **0** 時，* **v** * · * **v** * = 0 。

為了概括這種行為，我們需要保留這三種行為。然後我們可以繼續定義點積的推廣，我們稱之為 * 內積 *。向量空間 * V* 中兩個向量的內積，寫作 < * **x** *, * **y** >，是一個將 * V* × * V* 對映到 **R** 的函式，它滿足以下性質：

• < * **x** *, * **y** > = < * **y** *, * **x** >
• < * **v** *, α* **a** * + β* **b** > = α < * **v** *, * **a** > + β < * **v** *, * **b** >
• < * **a** *, * **a** > ≥ 0，< * **a** *, * **a** > = 0 當且僅當 * **a** * = **0**。

向量空間 * V* 和某個內積一起被稱為 * 內積空間 *。