線性代數/矩陣和行列式的介紹

行列式是一個函式，它將一個方陣關聯到它定義的域上的一個元素（通常是實數或複數）。

矩陣

矩陣的組織

非正式地說，一個 *m*×*n* 矩陣（複數為矩陣）是一個來自 域 的項的矩形表格（也就是說，每個項都是一個 元素 域）。這裡 m 是表格中的行數，n 是表格中的列數。不熟悉域概念的人，現在可以假設，對於特徵為 0 的域（我們用 F 表示），我們指的是複數集合的某個特定子集。

一個 m×n 矩陣（讀作 m 行 n 列矩陣），通常寫成

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

第 $i^{th}$ 行是 $F^{n}$ 的一個元素，顯示了 n 個分量 ${\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots a_{in}\end{pmatrix}}$. 同樣，第 $j^{th}$ 列是 $F^{m}$ 的一個元素，顯示了 m 個分量 ${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$.

這裡 m 和 n 被稱為矩陣的 *維數*。矩陣的維數總是先給出行數，然後是列數。還可以說，m 行 n 列矩陣的 *階數* 為 m×n。

正式地說，一個 m×n 矩陣 M 是一個 函式 $M:A\rightarrow F$ 其中 A = {1,2...m} × {1,2...n}，F 是所考慮的域。幾乎總是最好將矩陣視覺化為矩形表格（或陣列），而不是函式。

只有一行的矩陣稱為行矩陣（或行向量），只有一列的矩陣稱為列矩陣（或列向量）。如果兩個相同階數的矩陣對應元素相等，則認為這兩個矩陣相等。矩陣的（i,j）元素（通常寫成 $A_{ij}$ 或 $A_{i,j}$）是第 $i^{th}$ 行（從上往下）和第 $j^{th}$ 列（從左往右）交點處的元素。

例如，

${\begin{pmatrix}3&4&8\\2&7&11\\1&1&1\end{pmatrix}}$

是一個 3×3 矩陣（稱為 3 行 3 列）。第二行是 ${\begin{pmatrix}2&7&11\end{pmatrix}}$，第三列是 ${\begin{pmatrix}8\\11\\1\end{pmatrix}}$。 (2,3) 元素是第二行和第三列交點處的元素，即 11。

一些特殊的矩陣型別：

• 方陣是指行數和列數相同的矩陣。對角矩陣是指在主對角線上（即在 $A_{i,i}$ 位置）以外，所有其他元素都為零的矩陣。

• 單位矩陣或恆等矩陣 I_n，是指對角線元素為 1，其他元素都為 0 的矩陣。從數學上來說，我們可以說恆等矩陣的 $I_{i,j}$（通常寫成 $\delta _{i,j}$ 並稱為 克羅內克δ）由以下給出： $\delta _{i,j}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}$

例如，如果 n = 3

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

• m 行 n 列矩陣 A 的轉置 是一個 n 行 m 列矩陣 A^T，它是透過將行變成列，列變成行而形成的，即 $A_{i,j}=A_{j,i}^{T}\forall i,j$。例如 ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

• 一個方陣，它的轉置等於它本身，被稱為對稱矩陣；也就是說，如果 $A^{\mathrm {T} }=A.\,$，則 A 是對稱的。例如 ${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}$

• 一個方陣，它的轉置等於它的負值，被稱為反對稱矩陣；也就是說，如果 $A^{\mathrm {T} }=-A.\,$，則 A 是反對稱的。例如 ${\begin{bmatrix}0&-3&4\\3&0&-5\\-4&5&0\end{bmatrix}}$

這些矩陣的性質將在練習中進行闡述。

行列式

為了定義n階行列式，假設有n²個域元素s_ij，其中i和j小於或等於n。定義以下函式（該函式在定義中很重要）

S(a₁,a₂,a₃,...,a_n)=逆序數，即對於每個可能的組合，a_n1<a_n2時，n₁>n₂的次數。

假設你有一個從1到n的數字排列{a₁,a₂,a₃,...,a_n)。然後定義行列式的項等於(-1)^{S(a₁,a₂,a₃,...,a_n)}s_1a1,s_2a2,s_3a3,...,s_nan。所有可能項的總和（即透過所有可能的排列）稱為行列式。

定理

定義：矩陣 A 的轉置 A^T 是指將矩陣的列和行互換後得到的矩陣，即當 A 為矩陣 s_ij 時，矩陣為 s_ji。一個矩陣與其轉置具有相同的行列式

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

證明

所有項都是相同的，項的符號也不變，因為所有逆序都保持為逆序。因此，總和是相同的。

定理

互換兩行（或列）會改變行列式的符號

$\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}$.

證明

為了證明這一點，假設交換兩行（或列）。 那麼任何項中的反轉都不會受到影響，除了該行（或列）中該項的元素反轉，在這種情況下，會增加或減少一個反轉，從而改變所有項的符號，從而改變矩陣的符號。 現在，如果交換兩行，第 a 行和第 (a+n) 行，那麼依次交換第 a 行和 (a+1) 行，然後交換 (a+1) 行和 (a+2) 行，並繼續以這種方式進行，直到到達 (a+n-1) 行。 然後向後走，直到回到第 a 行。 這與交換第 a 行和第 (a+n) 行的效果相同，並且需要 n-1 次交換向前走，n-2 次交換向後走，它們的和必須是奇數，所以它乘以 -1 奇數次，因此它的總效果是乘以 -1。

推論

有兩行（或列）相同的行列式值為 0。 證明：該行列式將是它自己的加性逆元，因為交換行（或列）不會改變行列式，但仍然會改變行列式的符號。 唯一可能的數字是在它等於 0 時。

定理

它線上性地依賴於矩陣的行和列。

$\det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

證明

這些項的形式為 a₁...$\lambda a+\mu b$...a_n。 使用域的分配律，這得出 a₁...$\lambda a$...a_n + a₁...$\mu b$...a_n，因此此類項的總和是兩個行列式的總和

$\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

推論

將一行（或列）乘以一個數加到另一行（或列）不會影響行列式的值。

證明

假設你有一個行列式 A，它的第 k 列加上了另一列乘以一個數：${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}+\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}+\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}+\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}+\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

其中 a_kb 是另一列的元素。根據線性性質，這等於

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

第二個數字等於 0，因為它有兩列相同。因此，它等於 ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

這與矩陣 A 相同。

• 很容易看出 $\det(rI_{n})=r^{n}\,$ 因此

$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$ 對所有 $n$ 行 $n$ 列矩陣 $A$ 和所有 標量 $r$。

• 在 交換環 R 上的矩陣可逆，當且僅當它的行列式是 R 中的 單位。特別是，如果 A 是在像 域 這樣的 實數 或 複數 上的矩陣，那麼 A 可逆當且僅當 det(A) 不為零。在這種情況下，我們有

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

換句話說：Rⁿ 中的向量 v₁,...,v_n 形成一個 基 當且僅當 det(v₁,...,v_n) 不為零。

複數矩陣及其 共軛轉置 的行列式是 共軛

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$