行列式是一個函式，它將一個方陣與它所定義的域中的一個元素相關聯（通常是實數或複數）。
矩陣的組織 非正式地，一個m ×n 矩陣（複數矩陣）是一個來自域 的項的矩形表（也就是說，每個項都是一個元素 ）。這裡，m是表中行的數量，n是表中列的數量。不熟悉域概念的人，現在可以假設，透過一個特徵為0的域（我們將用F表示），我們指的是複數集合的一個特定子集。
一個m×n矩陣（讀作m乘n矩陣），通常寫成
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)} 第 i t h {\displaystyle i^{th}} F n {\displaystyle F^{n}} ( a i 1 a i 2 ⋯ a i n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots a_{in}\end{pmatrix}}} j t h {\displaystyle j^{th}} F m {\displaystyle F^{m}} ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}
這裡，m 和 n 稱為矩陣的維度 。矩陣的維度總是先給出行的數量，然後是列的數量。還可以說一個 m 乘 n 矩陣的階 為 m×n。
形式上，一個 m×n 矩陣 M 是一個函式 M : A → F {\displaystyle M:A\rightarrow F} × {1,2...n}，F 是正在考慮的域。幾乎總是最好將矩陣視覺化為一個矩形表（或陣列），而不是一個函式。
只有一行的矩陣稱為行矩陣 （或行向量 ），只有一列的矩陣稱為列矩陣 （或列向量 ）。兩個相同階數的矩陣，如果對應元素相等，則認為它們相等。矩陣的（i ,j ）元素（通常寫成 A i j {\displaystyle A_{ij}} A i , j {\displaystyle A_{i,j}} i t h {\displaystyle i^{th}} j t h {\displaystyle j^{th}}
例如，
( 3 4 8 2 7 11 1 1 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}3&4&8\\2&7&11\\1&1&1\end{pmatrix}}} 是一個 3×3 矩陣（讀作 3 行 3 列）。第二行是 ( 2 7 11 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7&11\end{pmatrix}}} ( 8 11 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\11\\1\end{pmatrix}}}
一些特殊的矩陣型別包括：
方陣 是指行數和列數相同的矩陣。對角矩陣 是指只有主對角線（即 A i , i {\displaystyle A_{i,i}} 單位矩陣 或恆等矩陣 In ，是指主對角線上的元素為 1，其餘元素均為 0 的矩陣。用數學語言來說，對於恆等矩陣 I i , j {\displaystyle I_{i,j}} δ i , j {\displaystyle \delta _{i,j}} 克羅內克函式 ），可以表示為： δ i , j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j {\displaystyle \delta _{i,j}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}} 例如，當 n = 3 時
I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] . {\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.} 一個 m×n 矩陣 A 的轉置 是指將 A 的行變成列、列變成行而得到的 n×m 矩陣 AT ，即 A i , j = A j , i T ∀ i , j {\displaystyle A_{i,j}=A_{j,i}^{T}\forall i,j} [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;} 如果一個方陣的轉置等於它自身，則稱該方陣為對稱矩陣 ；也就是說，如果 A T = A . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.\,} [ 1 2 3 2 4 − 5 3 − 5 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}} 如果一個方陣的轉置等於它的負數，則稱該方陣為反對稱矩陣 ；也就是說，如果 A T = − A . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=-A.\,} [ 0 − 3 4 3 0 − 5 − 4 5 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-3&4\\3&0&-5\\-4&5&0\end{bmatrix}}} 這些矩陣的性質將在練習中討論。
為了定義 n 階行列式，假設存在一個域的 n2 個元素 sij ，其中 i 和 j 小於或等於 n。定義以下函式（此函式在定義中很重要）
S(a1 ,a2 ,a3 ,...,an )=逆序數，即對於每個可能的組合，an1 <an2 時，n1 >n2 的次數。
假設你有一個從 1 到 n 的數字排列 {a1 ,a2 ,a3 ,...,an )。然後定義行列式的項等於 (-1)S(a1 ,a2 ,a3 ,...,an ) s1a1 ,s2a2 ,s3a3 ,...,snan 。所有可能項（即透過所有可能的排列）的總和稱為行列式。
定義：矩陣 A 的轉置 AT 是當列和行互換時得到的矩陣，即當 A 是矩陣 sij 時，矩陣 sji 。矩陣及其轉置 的行列式相同
det ( A ⊤ ) = det ( A ) . {\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,} 所有項都是相同的，並且項的符號也沒有改變，因為所有逆序仍然是逆序。因此，總和是相同的。
交換兩行（或列）會改變行列式的符號
det [ ⋯ row A ⋯ row B ⋯ ] = − det [ ⋯ row B ⋯ row A ⋯ ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}} 為了證明這一點，假設交換兩行（或列）。然後項中的任何逆序都不會受到影響，除非項中該行（或列）內的元素逆序，在這種情況下會增加或減少一個逆序，從而改變所有項的符號，從而改變矩陣的符號。現在，如果交換兩行，第 a 行和第（a+n）行，然後依次交換第 a 行和第（a+1）行，然後交換第（a+1）行和第（a+2）行，並繼續以這種方式進行，直到達到第（a+n-1）行。然後向後進行，直到回到第 a 行。這與交換第 a 行和第（a+n）行的效果相同，並且向前進行需要 n-1 次交換，向後進行需要 n-2 次交換，它們的總和必須是奇數，因此它乘以 -1 奇數次，因此它的總效果是乘以 -1。
具有兩行（或列）相同的行列式值為 0。證明：該行列式將是它自身的加性逆，因為交換行（或列）不會改變行列式，但仍會改變行列式的符號。唯一可能的是它等於 0。
它線上性地作用於矩陣的行和列。
det [ ⋱ ⋮ … λ a 1 + μ b 1 ⋯ λ a n + μ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] = λ det [ ⋱ ⋮ ⋯ a 1 ⋯ a n ⋯ ⋮ ⋱ ] + μ det [ ⋱ ⋮ ⋯ b 1 ⋯ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}} 項的形式為 a1 ... λ a + μ b {\displaystyle \lambda a+\mu b} n 。使用域的分配律，結果為 a1 ... λ a {\displaystyle \lambda a} n + a1 ... μ b {\displaystyle \mu b} n ，因此這種項的和是兩個行列式的和。
λ det [ ⋱ ⋮ ⋯ a 1 ⋯ a n ⋯ ⋮ ⋱ ] + μ det [ ⋱ ⋮ ⋯ b 1 ⋯ b n ⋯ ⋮ ⋱ ] {\displaystyle \lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}
將一行（或一列）乘以一個數加到另一行（或一列）中，不會影響行列式的值。
假設你有一個行列式 A，其中第 k 列加上另一列乘以一個數： [ a 11 a 12 a 13 … a 1 k + μ a 1 b … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k + μ a 2 b … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k + μ a 3 b … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k + μ a n b … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}+\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}+\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}+\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}+\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
其中 akb 是另一列的元素。根據線性性質，這等於
[ a 11 a 12 a 13 … a 1 k … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k … a n n ] + [ a 11 a 12 a 13 … μ a 1 b … a 1 n a 21 a 22 a 23 … μ a 2 b … a 2 n a 31 a 32 a 33 … μ a 3 b … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … μ a n b … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &\mu a_{1b}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &\mu a_{2b}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &\mu a_{3b}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &\mu a_{nb}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
第二個數字等於 0，因為它有兩列相同。因此，它等於 [ a 11 a 12 a 13 … a 1 k … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 k … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 k … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 … a n k … a n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1k}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2k}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3k}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nk}&\ldots &a_{nn}\end{bmatrix}}}
這與矩陣 A 相同。
很容易看出 det ( r I n ) = r n {\displaystyle \det(rI_{n})=r^{n}\,} det ( r A ) = det ( r I n ⋅ A ) = r n det ( A ) {\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} 標量 r {\displaystyle r} 在交換環 R 上的矩陣是可逆的當且僅當它的行列式是R 中的一個單位 。特別是，如果A 是在諸如域 的實數 或複數 上的矩陣，那麼A 是可逆的當且僅當det(A )不為零。在這種情況下，我們有 det ( A − 1 ) = det ( A ) − 1 . {\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,} 換句話說：R n v 1 ,...,v n 基 當且僅當det(v 1 ,...,v n
復矩陣及其共軛轉置 的行列式是共軛 的
det ( A ∗ ) = det ( A ) ∗ . {\displaystyle \det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,} 
