線性代數/逆矩陣/解

解

問題 1

在例 4.10 中補充中間步驟。

答案

以下是一種方法。

{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\1&-1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&-1&-1&0&-1&1\end{array}}\right)

{\begin{aligned}&{\xrightarrow[{}]{(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&3&-1&1&0&0\\0&0&-4/3&1/3&-1&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-(3/4)\rho _{3}}]{(1/3)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&-1/3&1/3&0&0\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{-\rho _{3}+\rho _{1}}]{(1/3)\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1/4&1/4&3/4\\0&1&0&1/4&1/4&-1/4\\0&0&1&-1/4&3/4&-3/4\end{array}}\right)\end{aligned}}

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問題 2

利用推論 4.12 判斷每個矩陣是否存在逆矩陣。

${\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&4\\1&-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-3\\-4&6\end{pmatrix}}$

答案

是的，它有逆矩陣： $ad-bc=2\cdot 1-1\cdot (-1)\neq 0$ .
是的。
不。

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問題 3

對於前面問題中的每個可逆矩陣，使用推論 4.12 求出它的逆矩陣。

答案

$\displaystyle {\frac {1}{2\cdot 1-1\cdot (-1)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/3&-1/3\\1/3&2/3\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {1}{0\cdot (-3)-4\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/4&1\\1/4&0\end{pmatrix}}$
前面的問題表明不存在逆矩陣。

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問題 4

使用高斯-若爾當消元法求出逆矩陣（如果存在）。檢查 $2\!\times \!2$ 矩陣的答案，並與使用推論 4.12 得到的結果進行核對。

${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1/2\\3&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&4\\-1&1&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1&5\\0&-2&4\\2&3&-2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-2&-3\\4&-2&-3\end{pmatrix}}$

答案

消元過程是常規的。
$\left({\begin{array}{cc|cc}3&1&1&0\\0&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{(1/2)\rho _{2}}]{(1/3)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/3&1/3&0\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/3&-1/6\\0&1&0&1/2\end{array}}\right)$
這個答案與檢查的答案一致。
${\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3\cdot 2-0\cdot 1}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}={\frac {1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}$
這個約簡很容易。 $\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&1/2&1&0\\0&1/4&-3/2&1\end{array}}\right)$
$\;{\xrightarrow[{4\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&1/4&1/2&0\\0&1&-6&4\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&-1\\0&1&-6&4\end{array}}\right)$
檢查結果一致。
${\frac {1}{2\cdot 1-3\cdot (1/2)}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1&-1/2\\-3&2\end{pmatrix}}$
嘗試使用高斯-約旦消元法
$\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\-1&2&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}2&-4&1&0\\0&0&1/2&1\end{array}}\right)$
表明左側不會簡化為單位矩陣，因此不存在逆矩陣。檢驗 $ad-bc=2\cdot 2-(-4)\cdot (-1)=0$ 與之相符。
這將得到一個逆矩陣。
$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\-1&1&0&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&2&4&0&1&0\\0&0&-1&1&-1&1\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-\rho _{3}}]{(1/2)\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&3&1&0&0\\0&1&2&0&1/2&0\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-3\rho _{3}+\rho _{1}}]{-2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&0&4&-3&3\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-3/2&1\\0&1&0&2&-3/2&2\\0&0&1&-1&1&-1\end{array}}\right)\end{aligned}}$
這是一種進行約簡的方法。
$\left({\begin{array}{ccc|ccc}0&1&5&1&0&0\\0&-2&4&0&1&0\\2&3&-2&0&0&1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&1&5&1&0&0\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&\;{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&3&-2&0&0&1\\0&-2&4&0&1&0\\0&0&7&1&1/2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -(1/2)\rho _{2}\\[-5pt]\scriptstyle (1/7)\rho _{3}\end{array}}]{(1/2)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&-1&0&0&1/2\\0&1&-2&0&-1/2&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\\&\;{\xrightarrow[{\rho _{3}+\rho _{1}}]{2\rho _{3}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3/2&0&1/7&1/14&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2/7&17/28&1/2\\0&1&0&2/7&-5/14&0\\0&0&1&1/7&1/14&0\end{array}}\right)\end{aligned}}$
不存在逆矩陣。
${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\1&-2&-3&0&1&0\\4&-2&-3&0&0&1\end{array}}\right)&\;{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&-6&-9&-2&0&1\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{ccc|ccc}2&2&3&1&0&0\\0&-3&-9/2&-1/2&1&0\\0&0&0&-1&-2&1\end{array}}\right)\end{array}}$
作為檢查，請注意起始矩陣的第三列是 $3/2$ 乘以第二列，因此它確實是奇異的，因此沒有逆矩陣。

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問題 5

哪個矩陣的逆矩陣是這個？

{\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}

答案

我們可以使用推論 4.12。

{\frac {1}{1\cdot 5-2\cdot 3}}\cdot {\begin{pmatrix}5&-3\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}}

問題 6

逆運算如何與矩陣的標量乘法和加法互動？

什麼是 $rH$ 的逆矩陣？
是 $(H+G)^{-1}=H^{-1}+G^{-1}$ 嗎？

答案

證明逆矩陣是 $r^{-1}H^{-1}=(1/r)\cdot H^{-1}$ （當然，前提是矩陣可逆）很容易。
不。一方面， $H+G$ 有逆矩陣並不意味著 $H$ 有逆矩陣，也不意味著 $G$ 有逆矩陣。這兩個矩陣都沒有逆矩陣，但它們的和有。
${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
另一個要點是，僅僅因為 $H$ 和 $G$ 都有逆矩陣，並不意味著 $H+G$ 也有逆矩陣；這裡是一個例子。
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
第三點是，即使兩個矩陣都有逆矩陣，並且它們的和也有逆矩陣，也不意味著等式成立。
${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}^{-1}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&0\\0&1/3\end{pmatrix}}^{-1}$
但是
${\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/5&0\\0&1/5\end{pmatrix}}^{-1}$
而 $(1/2)_{+}(1/3)$ 不等於 $1/5$ 。

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問題 7

是否 $(T^{k})^{-1}=(T^{-1})^{k}$ ？

答案

是的： $T^{k}(T^{-1})^{k}=(TT\cdots T)\cdot (T^{-1}T^{-1}\cdots T^{-1})=T^{k-1}(TT^{-1})(T^{-1})^{k-1}=\dots =I$ 。

問題 8

是否 $H^{-1}$ 可逆？

答案

是的， $H^{-1}$ 的逆矩陣是 $H$ 。

問題 9

對於每個實數 $\theta$ ，令 $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由以下矩陣表示。

{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

證明 $t_{\theta _{1}+\theta _{2}}=t_{\theta _{1}}\cdot t_{\theta _{2}}$ 。同樣證明 ${t_{\theta }}^{-1}=t_{-\theta }$ .

答案

一種驗證第一個等式的方法是使用三角學的角和公式。

{\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}&-\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\sin \theta _{2}&\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \theta _{1}&-\sin \theta _{1}\\\sin \theta _{1}&\cos \theta _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta _{2}&-\sin \theta _{2}\\\sin \theta _{2}&\cos \theta _{2}\end{pmatrix}}\end{array}}

以類似的方式驗證第二個等式。

當然，這些等式不僅可以驗證，還可以透過回顧 $t_{\theta }$ 是繞原點旋轉向量 $\theta$ 弧度的對映來理解。

問題 10

完成推論 4.12 證明的計算。

答案

有兩種情況。對於第一種情況，我們假設 $a$ 不為零。那麼

{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&-(bc/a)+d&-c/a&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc|cc}a&b&1&0\\0&(ad-bc)/a&-c/a&1\end{array}}\right)

表明矩陣在 $a\neq 0$ 的情況下可逆，當且僅當 $ad-bc\neq 0$ 。為了找到逆矩陣，我們繼續進行 Jordan 化簡。

{\xrightarrow[{(a/ad-bc)\rho _{2}}]{(1/a)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&b/a&1/a&0\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(b/a)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&d/(ad-bc)&-b/(ad-bc)\\0&1&-c/(ad-bc)&a/(ad-bc)\end{array}}\right)

另一個情況是 $a=0$ 的情況。我們將交換矩陣得到 $c$ 到 $1,1$ 位置。

{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}c&d&0&1\\0&b&1&0\end{array}}\right)

這個矩陣非奇異當且僅當 $b$ 和 $c$ 都不為零（在 $a=0$ 的前提下，這等價於 $ad-bc\neq 0$ ）。為了找到逆矩陣，我們進行 Jordan 化簡。

{\xrightarrow[{(1/b)\rho _{2}}]{(1/c)\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&d/c&0&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-(d/c)\rho _{2}+\rho _{1}}}\;\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&-d/bc&1/c\\0&1&1/b&0\end{array}}\right)

(注意，這是必需的，因為 $a=0$ 會導致 $ad-bc=-bc$ ).

問題 11

證明矩陣

H={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}

有無限多個右逆矩陣。證明它沒有左逆矩陣。

答案

對於 $H$ 作為 $2\!\times \!3$ 矩陣，在尋找矩陣 $G$ 使得組合 $HG$ 充當 $2\!\times \!2$ 單位矩陣，我們需要 $G$ 為 $3\!\times \!2$ 矩陣。建立方程

{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m&n\\p&q\\r&s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

並求解得到的線性方程組

{\begin{array}{*{6}{rc}r}m&&&&+r&&=&1\\&n&&&&+s&=&0\\&&p&&&&=&0\\&&&q&&&=&1\end{array}}

得到無限多個解。

\{{\begin{pmatrix}m\\n\\p\\q\\r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s\in \mathbb {R} \}

因此， $H$ 有無數個右逆。

對於左逆，方程

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

產生一個包含九個方程和四個未知數的線性方程組。

{\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\a&&&&&&&&&&&=&0\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&1\\&&&&c&&&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&0\\&&&&&&&&&&f&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}

這個方程組是不相容的（第一個方程與第三個方程衝突，第七個方程與第九個方程衝突），因此沒有左逆。

問題 12

在例 4.1 中， $\eta$ 有幾個左逆？

答案

關於標準基，我們有

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}}(\eta )={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}

並建立方程來求矩陣的逆

{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})

產生一個線性方程組。

{\begin{array}{*{6}{rc}r}a&&&&&&&&&&&=&1\\&&b&&&&&&&&&=&0\\&&&&&&d&&&&&=&0\\&&&&&&&&e&&&=&1\end{array}}

該系統在 $a,\ldots ,f$ 中有無窮多個解，因為其中兩個變數是完全不受限制的

\{{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+f\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}

因此，矩陣方程有無窮多個解。

\{{\begin{pmatrix}1&0&c\\0&1&f\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,f\in \mathbb {R} \}

例如，保持基底固定在 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ，例如取 $c=2$ 和 $f=3$ ，得到了一個表示該對映的矩陣。

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\;{\stackrel {f_{2,3}}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}x+2z\\y+3z\end{pmatrix}}

很容易驗證 $f_{2,3}\circ \eta$ 是 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的恆等對映。

問題 13

如果一個矩陣有無窮多個右逆，它能有無窮多個左逆嗎？必須有嗎？

答案

根據引理 4.3，它不可能有無窮多個左逆，因為具有左逆和右逆的矩陣每個只有一個（並且每個都是另一個——左逆矩陣和右逆矩陣是相等的）。

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問題 14

假設 $H$ 可逆，且 $HG$ 為零矩陣。證明 $G$ 為零矩陣。

答案

矩陣乘法的結合律表明一方面 $H^{-1}(HG)=H^{-1}Z=Z$ ，另一方面 $H^{-1}(HG)=(H^{-1}H)G=IG=G$ .

問題 15

證明如果 $H$ 可逆，則逆矩陣與矩陣 $GH^{-1}=H^{-1}G$ 可交換當且僅當 $H$ 本身與該矩陣 $GH=HG$ 可交換。

答案

將第一個方程的兩邊乘以 $H$ .

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問題 16

證明如果 $T$ 為方陣，且 $T^{4}$ 為零矩陣，則 $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+T^{3}$ 。推廣此結論。

答案

驗證當 $I-T$ 兩邊乘以該表示式（假設 $T^{4}$ 為零矩陣）後得到的結果是單位矩陣很容易。顯而易見的推廣是，如果 $T^{n}$ 為零矩陣，則 $(I-T)^{-1}=I+T+T^{2}+\cdots +T^{n-1}$ ；再次驗證也很容易。

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問題 17

設 $D$ 為對角矩陣。描述 $D^{2}$ , $D^{3}$ , ... , 等等。描述 $D^{-1}$ , $D^{-2}$ , ... , 等等。適當地定義 $D^{0}$ 。

答案

矩陣的冪是透過對對角線元素求冪得到的。也就是說， $D^{2}$ 除了對角線元素為 ${d_{1,1}}^{2}$ , ${d_{2,2}}^{2}$ , 等等，其餘元素都為零。這表明可以將 $D^{0}$ 定義為單位矩陣。

問題 18

證明任何與可逆矩陣行等價的矩陣也是可逆的。

答案

假設 $B$ 與 $A$ 行等價，並且 $A$ 是可逆的。由於它們是行等價的，因此存在一系列行操作將其中一個矩陣化為另一個。這種化簡可以用矩陣來完成，例如， $A$ 可以透過行操作變換為 $B$ ，如下所示： $B=R_{n}\cdots R_{1}A$ 。這個方程式給出了 $B$ 作為一系列可逆矩陣的乘積，根據引理 4.5， $B$ 也是可逆的。

問題 19

以下第一個問題在矩陣乘法部分以問題 15 的形式出現。

證明兩個矩陣乘積的秩小於或等於每個矩陣秩的最小值。
證明如果 $T$ 和 $S$ 是方陣，則 $TS=I$ 當且僅當 $ST=I$ .

答案

參見矩陣乘法部分中的問題 15 的答案。
我們將證明這兩個條件都等價於這兩個矩陣非奇異的條件。由於 $T$ 和 $S$ 是方陣，並且它們的乘積已定義，它們的大小相等，例如 $n\!\times \!n$ 。考慮 $TS=I$ 的一半。根據上一項， $I$ 的秩小於或等於 $T$ 的秩和 $S$ 的秩的最小值。但 $I$ 的秩是 $n$ ，因此 $T$ 的秩和 $S$ 的秩都必須是 $n$ 。因此，每個矩陣都是非奇異的。相同的論證表明 $ST=I$ 意味著每個矩陣都是非奇異的。

問題 20

證明排列矩陣的逆矩陣是其轉置矩陣。

答案

逆矩陣是唯一的，因此我們只需要證明它是有效的。檢查結果如上所示，作為矩陣乘法機制部分中的問題 9。

問題 21

這個問題的前兩部分作為矩陣乘法部分中的問題 12 出現。

證明 ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ .
如果一個方陣的每個 $i,j$ 項等於相應的 $j,i$ 項（也就是說，如果該矩陣等於它的轉置），那麼該方陣是對稱的。證明矩陣 $H{{H}^{\rm {trans}}}$ 和 ${{H}^{\rm {trans}}}H$ 是對稱的。
證明轉置的逆等於逆的轉置。
證明對稱矩陣的逆是對稱的。

答案

請檢視矩陣乘法小節問題 12 的答案。
請檢視矩陣乘法小節問題 12 的答案。
將第一部分應用於 $I=AA^{-1}$ ，得到 $I={{I}^{\rm {trans}}}={{(AA^{-1})}^{\rm {trans}}}={{(A^{-1})}^{\rm {trans}}}{{A}^{\rm {trans}}}$ .
將上述結果應用於 ${{A}^{\rm {trans}}}=A$ ，因為 $A$ 是對稱的。

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問題 22

這個問題的開頭部分出現在矩陣乘法小節問題 17 中。

證明投影 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 的複合是零對映，儘管它們本身都不是零對映。
證明導數 $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 的複合是零對映，儘管它們本身都不是零對映。
用矩陣方程表示上面提到的兩個問題。

當兩個事物相乘結果為零，但它們本身都不為零時，它們被稱為零因子。證明沒有零因子是可逆的。

答案

有關前半部分組成項的答案，請參見矩陣乘法小節中的問題 17。對於後半部分的證明，假設 $A$ 是一個零因子，因此存在一個非零矩陣 $B$ 滿足 $AB=Z$ （或者 $BA=Z$ ；這種情況類似）。如果 $A$ 是可逆的，那麼 $A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=IB=B$ ，但也 $A^{-1}(AB)=A^{-1}Z=Z$ ，這與 $B$ 非零矛盾。