線性代數/拉普拉斯定理

這裡我們將介紹一個更通用的關於行列式展開的定理，它基於不止一行或一列。

讓我們有一個 n 階方陣 M。讓我們指定 0<k<n 行和列。這些行和列的交集形成了一個 k 階方陣。這樣的矩陣稱為 k 階 **子式**。我們將使用以下符號表示這種子式

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

其中 $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ 指定所選行，而 $j_{1},j_{2},...,j_{k}$ 指定所選列。

現在假設我們刪除了所選的列和行。然後，我們又得到一個方陣，這次是 n-k 階。這被稱為前面子式的 **餘子式**。

考慮子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$，它包含前 k 行和列。

現在考慮行列式 M 中的所有項，這些項的前 k 列元素也屬於前 k 行。讓這樣的項用 q 表示。它的前 k 項位於子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ 中。現在我們將確定此項在行列式中前面的符號。前 k 個因子都在子式中，因此前 k 個項中的逆序數與子式中的逆序數相同。最後 n-k 個項都在餘子式中，因此最後 n-k 個項中的逆序數與餘子式中的逆序數相同。注意前 k 個項與最後 n-k 個項之間沒有逆序。因此，總的逆序數是子式和餘子式中的逆序數之和。讓子式中的逆序數用 $r_{1}$ 表示，讓子式中的逆序數用 $r_{2}$ 表示。那麼行列式 M 中該項的符號就是 $(-1)^{r_{1}+r_{2}}$，因此它等於子式中項的符號和餘子式中項的符號的乘積。因此，我們可以得出結論，子式中一項和餘子式中一項的乘積給出了行列式 M 中的一項。此外，對於行列式 M 中的所有項，都存在著子式和餘子式中相應的兩項。因此，所有前 k 個因子也位於前 k 行的項之和，恰好等於子式 $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ 及其餘子式的乘積。

現在我們考慮一個任意的子式

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$.

我們可以交換矩陣 M 的行和列，直到子式的所有行和列都位於左上角。這需要總共 $(i_{1}-1)+(i_{2}-2)+...+(i_{k}-k)+(j_{1}-1)+(j_{2}-2)+...+(j_{k}-k)$ 次行交換。因此，在執行行交換時，它被乘以 -1 那麼多次，或者，為了分解 -1 的偶數次冪，它被乘以 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$。

我們已經證明，在首個 k 行和列中，包含 k 個項的 所有項之和 等於一個子矩陣與其補矩陣的行列式之積。因此，在子矩陣的行和列中，包含 k 個項的 所有項之和，本質上等於子矩陣的行列式乘以其補矩陣的行列式，再乘以 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$.

如果我們把 $M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 的補矩陣記為 $K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

那麼我們可以把這個和的關係表達為 $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

或者

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

其中 $A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}=(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 稱為子矩陣 $<math>M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ 的代數餘子式。

由於行列式 M 中的所有項在子矩陣中至少包含 k 個項，每個選定的行中包含一個，我們可以先選擇行，然後將所有穿過列選定的項分組。我們已經證明，所有這類項之和等於子矩陣與其代數餘子式的乘積。由於我們可以透過適當選擇列來選擇任何項，因此所有項都屬於這類列選擇定義的組。因此，所有組都包含行列式中的所有項，所以，如果給出 k 行的選定 $i_{1},i_{2},...,i_{k}$，那麼行列式可以表述為和

$\sum M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$，其中列遍歷所有可能的k列組合。

當然，一個類似的結果是，給定k列的選擇，行列式也可以表徵為所有子式與其代數餘子式的乘積之和，其中行遍歷所有可能的k行組合，可以採用類似的方法證明。