線性代數/線性相關性

在本章中，我們將簡要介紹列線性相關性的情況。稍後，在有關向量的部分中，我們將看到線性相關性在一般情況下意味著什麼。但是，現在我們考慮它與行列式的關係。

定義

考慮 m 列數字，每列有 n 個來自域 F 的數字

$C_{1}={\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}},C_{2}={\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}},..,C_{m}={\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

我們將兩列的加法定義為其對應項相加的列，並將域 F 中的數字與列的標量乘法定義為將每一項乘以該數字的列。

我們稱之為總和

$\alpha _{1}{\begin{Vmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{Vmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{Vmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{Vmatrix}}+..+\alpha _{m}{\begin{Vmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{Vmatrix}}$

對於任何域元素 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$，稱為列的線性組合 $C_{1},C_{2},...,C_{n}$

現在假設這些列形成一個 n 階行列式。然後我們有以下結果

定理
如果其中一列是其他列的線性組合，則行列式為 0。

證明
根據之前證明的一個定理，當行列式中的一列（或一行）是其他列（或行）的線性組合時，行列式為 0。由於作為其他列的線性組合的列在行列式中仍然是其他列的線性組合，因此行列式為 0。

這個定理的逆命題也是正確的，我們將在本頁稍後證明這一點。