線性代數/矩陣逆

一個 n×n 矩陣 A 是另一個 n×n 矩陣 B 的逆矩陣（反之亦然），當且僅當 BA = AB = I，其中 I 是單位矩陣。

一個 n×n 矩陣的逆矩陣可以透過建立一個 n×2n 矩陣來計算，該矩陣的左邊是原始矩陣，右邊是單位矩陣。對該矩陣進行行化簡，右邊的部分將是逆矩陣。如果該矩陣不能完全行化簡，則它沒有逆矩陣。

示例

令 $\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}1&4&4\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

我們首先擴充套件並劃分 A 以包含單位矩陣，然後對 A 進行行化簡，直到我們到達左邊是單位矩陣。

${\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\2&5&8&{\big |}&0&1&0\\3&6&9&{\big |}&0&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&-3&0&{\big |}&-2&1&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&4&4&{\big |}&1&0&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&-6&-3&{\big |}&-3&0&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow$

${\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&-3&{\big |}&1&-2&1\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&4&{\big |}&-5/3&4/3&0\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{bmatrix}1&0&0&{\big |}&-1/3&-4/3&4/3\\0&1&0&{\big |}&2/3&-1/3&0\\0&0&1&{\big |}&-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$

矩陣 $\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}-1/3&-4/3&4/3\\2/3&-1/3&0\\-1/3&2/3&-1/3\end{bmatrix}}$ 則是原始矩陣 A 的逆矩陣。