線性代數/矩陣運算

練習 2c ka 問題 3 版 2018

矩陣加法

只有當兩個矩陣具有相同的維數（相同的行數和列數）時，才能將它們加在一起。結果矩陣只是其元素是兩個加在一起的矩陣中對應元素之和的矩陣。如果矩陣 $A$ 加到矩陣 $B$ 上，結果矩陣是 $C$，那麼 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

${\begin{pmatrix}5&1&7\\3&9&4\\0&-2&6\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&2&4\\7&1&-3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8&3&11\\10&10&1\\4&3&12\end{pmatrix}}$

矩陣乘法

只有當第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時，才能將兩個矩陣相乘。也就是說，如果第一個矩陣是 $n\times m$，那麼第二個矩陣必須是 $m\times p$。結果矩陣將具有 $n\times p$ 的維數，其中每個元素都是第一個矩陣中一行中的條目與第二個矩陣中對應列中的條目乘積之和。如果 $C=AB$，那麼 $c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

雖然矩陣乘法不滿足交換律，但它滿足結合律，這意味著 (AB)C=A(BC)。由於矩陣乘法不滿足交換律，因此必須指定因子的順序。AB 將被讀作“A 後乘以 B”或“B 前乘以 A”。矩陣乘法滿足分配律，所以 A(B+C)=AB+AC。此外，兩個非零矩陣不一定具有非零乘積。

沒有“矩陣除法”這種說法。要除掉一個矩陣，你需要先得到這個矩陣的逆矩陣，然後乘以它的逆矩陣。我們在下面討論逆矩陣。

轉置

要得到一個矩陣的轉置，我們需要交換這個矩陣的行和列。如果我們有一個矩陣 X，它的轉置用 X^T 表示。例如

$X={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$

$X^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}$

行列式

矩陣 X 的行列式用 |X| 表示。

逆矩陣

如果矩陣的行列式不為零，則稱該矩陣為 **可逆矩陣**。逆矩陣遵循以下公式

$XX^{-1}=X^{-1}X=I$

其中 I 是單位矩陣。