線性代數/OLD/基變換

基變換

之前已經證明，一個方陣可以表示一個向量空間到自身的線性變換，並且這個矩陣依賴於向量空間所選擇的基。現在我們將展示如何改變給定向量空間的基。

假設我們有一個向量空間，其基由集合 $A=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 給出，我們想將其改變為集合 $B=b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$。基 B 仍然屬於上述向量空間，因此其向量可以用線性組合 [Eq. 1] 表示

$b_{1}=p_{11}a_{1}+p_{12}a_{2}+\ldots +p_{1n}a_{n}$,

$b_{2}=p_{21}a_{1}+p_{22}a_{2}+\ldots +p_{2n}a_{n}$,

$\ldots$

$b_{n}=p_{n1}a_{1}+p_{n2}a_{2}+\ldots +p_{nn}a_{n}$

集合 B 中的每個向量相對於我們開始使用的基（即指定為 A 的集合）都有一個座標矩陣。我們將此表示為

${\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{11}\\p_{12}\\\vdots \\p_{1n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{21}\\p_{22}\\\vdots \\p_{2n}\\\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{n1}\\p_{n2}\\\vdots \\p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

將這些座標矩陣作為矩陣 P 的列，我們得到了一個過渡矩陣。這個過渡矩陣將原始基 A 轉換為某個向量空間的新基 B。過渡矩陣實際上是之前看到的 [Eq. 1] 的轉置。

$P={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\p_{12}&\cdots &p_{n2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

總而言之，為了找到從某個基底 F 到某個基底 G 的過渡矩陣，我們必須計算原始基底 F 中每個元素關於另一個基底 G 的座標向量。以這些座標向量為列的矩陣就是過渡矩陣。

證明

定理 1

如果 P 是從基底 A 到基底 Z 的過渡矩陣，並且 β 是向量空間中的一個元素，那麼有

$P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}={\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}$

證明

$\beta =b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}+\cdots +b_{n}z_{n}$ $~~~=b_{1}(p_{11}a_{1}+\cdots +p_{1n}a_{n})+\cdots +b_{n}(p_{n1}a_{1}+\cdots +p_{nn}a_{n})$

$~=(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})a_{1}+\cdots +(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})a_{n}$

$\therefore$

${\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})\\\vdots \\(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\\vdots &~&\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}$

$\Box$