線性代數/舊/特徵值和特徵向量

令$T:V\rightarrow V$為線性對映，其中$V$是域$K$上的向量空間。 那麼，如果一些非零向量$v\in V$滿足方程$T(v)=\lambda v$，其中$\lambda \in K$，那麼$v$是$T$的特徵向量，而$\lambda$是其對應的特徵值。

等價地，在矩陣中，我們有$Av=\lambda v$。

例如，矩陣${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}$將向量${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$加倍，並將向量${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$乘以三倍。

如何找到特徵向量和特徵值

找到特徵值和特徵向量相當簡單。 首先，我們將找到特徵值，然後我們將看到如何找到對應於特定特徵值的特徵向量。

如果 V 是矩陣 A 的特徵向量，其特徵值為 $\lambda$，那麼根據定義，AV=$\lambda$V。減去 $\lambda$V 後，我們得到 AV-$\lambda$V=0。因為 $\lambda$V 等於 $\lambda$IV，其中 I 是 單位矩陣，最終我們得到 (A-$\lambda$I)V=0。
因此，$\lambda$ 是一個特徵值當且僅當矩陣 (A-$\lambda$I) 將某個向量對映到 0。幸運的是，這很容易確定，因為矩陣將某個向量對映到零當且僅當它的 行列式 等於零。
讓我們舉個例子，找到 ${\begin{pmatrix}-1&-3&-6\\0&2&0\\3&3&8\end{pmatrix}}$ 的特徵值。我們將從矩陣中減去 tI（t 是一個變數），然後找出行列式 |A-tI| 等於 0 時（這稱為 特徵多項式）。

A-tI = ${\begin{pmatrix}-1-t&-3&-6\\0&2-t&0\\3&3&8-t\end{pmatrix}}$
|A-tI| 是（用第一行計算）：(-1-t)*(2-t)*(8-t)+3*6*(2-t)，簡化一下我們得到 (2-t)²*(5-t)，因為 |A-tI|=0 當 t=2,5 時，特徵值為 2 和 5。
讓我們找到特徵值 2 的特徵向量空間。
透過從對角線上減去 2，我們得到 A-2I：${\begin{pmatrix}-3&-3&-6\\0&0&0\\3&3&6\end{pmatrix}}$
向量 ${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ 和 ${\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}$ 構成 A-2I 的 零空間，因此它們的任何線性組合都是特徵值為 2 的特徵向量。
例如，10*${\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ + 3*${\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}20\\6\\-13\end{pmatrix}}$ 以及 ${\begin{pmatrix}-1&-3&-6\\0&2&0\\3&3&8\end{pmatrix}}$*${\begin{pmatrix}20\\6\\-13\end{pmatrix}}$=${\begin{pmatrix}40\\12\\-26\end{pmatrix}}$=2*${\begin{pmatrix}20\\-6\\-13\end{pmatrix}}$
您可以類似地透過計算 A-5I（從對角線上減去 5）並找到它的核空間來找到特徵值 5 的特徵向量空間。

• 您也可以使用像 octave 這樣的數學軟體來找到特徵值。

octave:1> a=[-1,-3,-6;0,2,0;3,3,8]

a =

  -1  -3  -6
   0   2   0
   3   3   8

octave:2> [v,d]=eig(a)

v =

  -0.89443   0.70711  -0.28280
   0.00000   0.00000   0.90699
   0.44721  -0.70711  -0.31209

d =

  2  0  0
  0  5  0
  0  0  2