線性代數/舊版/矩陣運算

零矩陣

一個零矩陣是一個所有元素都為零的矩陣。一個零矩陣的例子是

$M={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

標量

標量是一個非零常數，用於縮放矩陣。

如果r是一個標量，而A是一個矩陣，那麼標量倍數rA是一個矩陣，它的列是A中對應列的r倍。

以下是一個例子：

$r=4\qquad A={\begin{bmatrix}2&&3\\7&&1\end{bmatrix}}$

$rA={\begin{bmatrix}4*2&&4*3\\4*7&&4*1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&12\\28&&4\end{bmatrix}}$

當我們減去兩個矩陣時，間接地使用了標量，因為-B可以定義為(-1)B。這意味著當我們從矩陣A中減去矩陣B時，A-B與A+(-1)B相同。

加法和減法

只有當兩個矩陣具有相同大小（尺寸）時，它們才能相加或相減。矩陣加法和減法是逐元素進行的，這意味著A+B中的每個元素是A和B中對應元素的總和。

以下是一個矩陣加法的例子：

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}$

而這是一個減法的例子：

$A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}$

$A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&4\end{bmatrix}}$

請記住，您不能將兩個不同大小的矩陣相加或相減。

以下規則適用於矩陣的加法和標量倍數。
設A，B和C是相同大小的矩陣，並設r和s是標量。

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A + 0 = A
• r(A + B) = rA + rB
• (r + s)A = rA + sA
• r(sA) = (rs)A

矩陣乘法

對於線性代數初學者來說，矩陣乘法比標量乘法略微不直觀。然而，它並不比標量乘法更難。

定義

如果A是1 行 m 列矩陣，而B是m 行 1 列矩陣，那麼乘積AB可以表示為

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1m}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\\vdots \\b_{m1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots +a_{1m}b_{m1}\\\end{bmatrix}}$

這些項的求和可以表示為黎曼和

${\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{m}a_{1m}b_{m1}\\\end{bmatrix}}_{(1,1)}$

我們可以利用這一知識來判斷矩陣乘法是否可以進行。例如，一個$3\times 2$乘以一個$2\times 3$矩陣將得到一個$3\times 3$矩陣。如果第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數，則可以進行乘法（如上述示例所示）。

矩陣乘法不滿足交換律，這意味著a * b不等於b * a。透過檢視上面的例子，我們可以很容易地看出這一點。

冪

如果A是一個$n\times n$矩陣，並且k是一個正整數，那麼$A^{k}$表示A的k個副本的乘積

$A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}$

如果A不為零，並且x在$\mathbb {R} ^{n}$中，那麼$A^{k}\mathbf {x}$是將x左乘A重複k次的運算結果。如果k = 0，那麼$A^{0}\mathbf {x}$應該等於x本身。因此$A^{0}$被解釋為單位矩陣。

轉置

給定一個 $m\times n$ 矩陣 A，A 的轉置是一個 $n\times m$ 矩陣，記作 $A^{T}$，它的列是由 A 中對應行組成的。

例如

$A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}$

$A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}$

在進行轉置運算時，以下規則適用

1. $\left(A^{T}\right)^{T}=A\,$
2. $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,$
3. 對於任何標量 r，$(rA)^{T}=rA^{T}\,$
4. $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\,$

第 4 條規則可以推廣到多個因子的乘積，即“矩陣乘積的轉置等於其轉置的乘積，但順序相反”。這意味著

$(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})^{T}=a_{n}^{T},...,a_{3}^{T},a_{2}^{T},a_{1}^{T}$