線性代數/對映和矩陣的多項式/解答

解答

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問題 1

如果一個矩陣具有給定的特徵多項式，那麼它的最小多項式可能是什麼？

1. $8\cdot (x-3)^{4}$
2. $(1/3)\cdot (x+1)^{3}(x-4)$
3. $-1\cdot (x-2)^{2}(x-5)^{2}$
4. $5\cdot (x+3)^{2}(x-1)(x-2)^{2}$

每個可能性的度數是多少？

回答

對於每一個，最小多項式必須有一個前導係數為$1$，並且根據定理 1.8，凱萊-哈密頓定理，最小多項式必須包含與特徵多項式相同的線性因子，儘管可能次數較低，但不為零次。

1. 可能性是$m_{1}(x)=x-3$，$m_{2}(x)=(x-3)^{2}$，$m_{3}(x)=(x-3)^{3}$，以及$m_{4}(x)=(x-3)^{4}$。注意，$8$被省略了，因為最小多項式必須有一個前導係數為 1。第一個是一次多項式，第二個是二次多項式，第三個是三次多項式，第四個是四次多項式。
2. 可能性包括 $m_{1}(x)=(x+1)(x-4)$，$m_{2}(x)=(x+1)^{2}(x-4)$ 和 $m_{3}(x)=(x+1)^{3}(x-4)$。第一個是二次多項式，即它的次數為二。第二個的次數為三，第三個的次數為四。
3. 我們有 $m_{1}(x)=(x-2)(x-5)$，$m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-5)$，$m_{3}(x)=(x-2)(x-5)^{2}$ 和 $m_{4}(x)=(x-2)^{2}(x-5)^{2}$。它們的次數分別為二、三、三和四。
4. 可能性包括 $m_{1}(x)=(x+3)(x-1)(x-2)$，$m_{2}(x)=(x+3)^{2}(x-1)(x-2)$，$m_{3}(x)=(x+3)(x-1)(x-2)^{2}$ 和 $m_{4}(x)=(x+3)^{2}(x-1)(x-2)^{2}$。$m_{1}$ 的次數為三，$m_{2}$ 的次數為四，$m_{3}$ 的次數為四，$m_{4}$ 的次數為五。

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問題 2

求每個矩陣的最小多項式。

1. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&1&3\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}$
6. ${\begin{pmatrix}-1&4&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&-4&-1&0&0\\3&-9&-4&2&-1\\1&5&4&1&4\end{pmatrix}}$

回答

在每種情況下，我們將使用例 1.12 中的方法。

1. 因為 $T$ 是三角形的，$T-xI$ 也是三角形的。

   $T-xI={\begin{pmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&0&4-x\end{pmatrix}}$

   特徵多項式很容易求得 $c(x)=\left|T-xI\right|=(3-x)^{2}(4-x)=-1\cdot (x-3)^{2}(x-4)$。最小多項式只有兩種可能，$m_{1}(x)=(x-3)(x-4)$ 和 $m_{2}(x)=(x-3)^{2}(x-4)$。（注意特徵多項式有一個負號，但最小多項式沒有，因為它必須有一個為 1 的前導係數）。因為 $m_{1}(T)$ 不是零矩陣

   $(T-3I)(T-4I)={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\1&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   最小多項式是 $m(x)=m_{2}(x)$.

   $(T-3I)^{2}(T-4I)=(T-3I)\cdot {\bigl (}(T-3I)(T-4I){\bigr )}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

2. 正如前一項，矩陣為三角形使得特徵多項式計算變得容易。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&0&3-x\end{vmatrix}}=(3-x)^{3}=-1\cdot (x-3)^{3}$

   最小多項式有三種可能，分別為 $m_{1}(x)=(x-3)$, $m_{2}(x)=(x-3)^{2}$, 和 $m_{3}(x)=(x-3)^{3}$. 我們透過計算 $m_{1}(T)$來解決這個問題。

   $T-3I={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   並且 $m_{2}(T)$.

   $(T-3I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因為 $m_{2}(T)$ 是零矩陣，$m_{2}(x)$ 是最小多項式。
3. 再次，矩陣是三角形的。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}3-x&0&0\\1&3-x&0\\0&1&3-x\end{vmatrix}}=(3-x)^{3}=-1\cdot (x-3)^{3}$

   再次，最小多項式 $m_{1}(x)=(x-3)$, $m_{2}(x)=(x-3)^{2}$ 和 $m_{3}(x)=(x-3)^{3}$ 三種可能性。我們計算 $m_{1}(T)$

   $T-3I={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

   和 $m_{2}(T)$

   $(T-3I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

   並且 $m_{3}(T)$.

   $(T-3I)^{3}=(T-3I)^{2}(T-3I)={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因此，最小多項式是 $m(x)=m_{3}(x)=(x-3)^{3}$.
4. 這種情況也是三角形的，這裡是指上三角矩陣。

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}2-x&0&1\\0&6-x&2\\0&0&2-x\end{vmatrix}}=(2-x)^{2}(6-x)=-(x-2)^{2}(x-6)$

   最小多項式有兩個可能， $m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$ 和 $m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。計算表明，最小多項式不是 $m_{1}(x)$.

   $(T-2I)(T-6I)={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4&0&1\\0&0&2\\0&0&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&-4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   因此，它一定是 $m(x)=m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。這是一個驗證。

   $(T-2I)^{2}(T-6I)=(T-2I)\cdot {\bigl (}(T-2I)(T-6I){\bigr )}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&-4\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

5. 特徵多項式為

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}2-x&2&1\\0&6-x&2\\0&0&2-x\end{vmatrix}}=(2-x)^{2}(6-x)=-(x-2)^{2}(x-6)$

   最小多項式則有兩種可能：$m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$ 以及 $m_{2}(x)=(x-2)^{2}(x-6)$。我們檢查第一個

   $(T-2I)(T-6I)={\begin{pmatrix}0&2&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-4&2&1\\0&0&2\\0&0&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

   表明最小多項式為 $m(x)=m_{1}(x)=(x-2)(x-6)$。
6. 特徵多項式為：

   $c(x)=\left|T-xI\right|={\begin{vmatrix}-1-x&4&0&0&0\\0&3-x&0&0&0\\0&-4&-1-x&0&0\\3&-9&-4&2-x&-1\\1&5&4&1&4-x\end{vmatrix}}=(x-3)^{3}(x+1)^{2}$

   最小多項式有許多可能性，按升序排列如下：$m_{1}(x)=(x-3)(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)^{2}(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)(x+1)^{2}$, $m_{1}(x)=(x-3)^{3}(x+1)$, $m_{1}(x)=(x-3)^{2}(x+1)^{2}$, 以及 $m_{1}(x)=(x-3)^{3}(x+1)^{2}$。第一個不成立

   ${\begin{array}{rl}(T-3I)(T+1I)&={\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&-4&0&0&0\\3&-9&-4&3&-1\\1&5&4&1&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\-4&-4&0&-4&-4\\4&4&0&4&4\end{pmatrix}}\end{array}}$

   但第二個成立。

   $(T-3I)^{2}(T+1I)=(T-3I){\bigl (}(T-3I)(T+1I){\bigr )}$

   ${\begin{aligned}&={\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\-4&-4&0&-4&-4\\4&4&0&4&4\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

   最小多項式是 $m(x)=(x-3)^{2}(x+1)$.

問題 3

求此矩陣的最小多項式。

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$

回答

其特徵多項式具有復根。

${\begin{vmatrix}-x&1&0\\0&-x&1\\1&0&-x\end{vmatrix}}=(1-x)\cdot (x-(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i))\cdot (x-(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i))$

由於根是不同的，特徵多項式等於最小多項式。

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問題 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 上，微分運算元 $d/dx$ 的最小多項式是什麼？

回答

我們知道 ${\mathcal {P}}_{n}$ 是一個維度為 $n+1$ 的空間，並且微分運算元是指數為 $n+1$ 的冪零運算元（例如，取 $n=3$，${\mathcal {P}}_{3}=\{c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}\,{\big |}\,c_{3},\ldots ,c_{0}\in \mathbb {C} \}$ 三次函式的四階導數為零多項式）。使用冪零變換的規範形式表示此運算元。

${\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &&0\\1&0&0&&&0\\0&1&0&&&\\&&\ddots \\0&0&0&&1&0\end{pmatrix}}$

這是一個 $(n+1)\!\times \!(n+1)$ 矩陣，其特徵多項式很簡單，$c(x)=x^{n+1}$。 (注意: 這個矩陣是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(d/dx)$，其中 $B=\langle x^{n},nx^{n-1},n(n-1)x^{n-2},\ldots ,n!\rangle$。) 為了找到最小多項式，如示例 1.12 所示，我們考慮 $T-0I=T$ 的冪。 但是，當然， $T$ 的第一個零矩陣的冪是 $n+1$。 所以最小多項式也是 $x^{n+1}$。

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問題 5

找到這種形式的矩陣的最小多項式

${\begin{pmatrix}\lambda &0&0&\ldots &&0\\1&\lambda &0&&&0\\0&1&\lambda \\&&&\ddots \\&&&&\lambda &0\\0&0&\ldots &&1&\lambda \end{pmatrix}}$

其中標量 $\lambda$ 是固定的（即，不是變數）。

回答

將矩陣稱為 $T$，假設它是一個 $n\!\times \!n$ 矩陣。因為 $T$ 是三角形的，所以 $T-xI$ 是三角形的，特徵多項式是 $c(x)=(x-\lambda )^{n}$。為了看到最小多項式相同，考慮 $T-\lambda I$。

${\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &0\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0\\&&\ddots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

將它識別為冪零度為 $n$ 的變換的規範形式；冪 $(T-\lambda I)^{j}$ 第一次為零時 $j$ 是 $n$。

問題 6

將 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中的變換，將 $p(x)$ 對映到 $p(x+1)$ 的最小多項式是什麼？

回答

當 $n=3$ 時，它提供了一個提示。 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的自然基是 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。 變換的作用是

$1\mapsto 1\quad x\mapsto x+1\quad x^{2}\mapsto x^{2}+2x+1\quad x^{3}\mapsto x^{3}+3x^{2}+3x+1$

因此，表示 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 是這個上三角矩陣。

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

因為它是一個三角形，所以特徵多項式是 $c(x)=(x-1)^{4}$ 這很明顯。 對於最小多項式，候選者是 $m_{1}(x)=(x-1)$，

$T-1I={\begin{pmatrix}0&1&1&1\\0&0&2&3\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$m_{2}(x)=(x-1)^{2}$,

$(T-1I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&6\\0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

$m_{3}(x)=(x-1)^{3}$,

$(T-1I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

以及 $m_{4}(x)=(x-1)^{4}$. 由於 $m_{1}$，$m_{2}$ 和 $m_{3}$ 不正確，$m_{4}$ 必須是正確的，這一點很容易驗證。

對於一般的 $n$，該表示是一個上三角矩陣，對角線上為 1。因此，特徵多項式為 $c(x)=(x-1)^{n+1}$。驗證最小多項式等於特徵多項式的一種方法是，類似地論證：假設一個上三角矩陣是 $0$-上三角矩陣，如果對角線上有非零元素，那麼它是 $1$-上三角矩陣，如果對角線上只有零，並且對角線上方有非零元素，等等。正如上面的例子所示，歸納論證將表明，當 $T$ 只有非負元素時，$T^{j}$ 是 $j$-上三角矩陣。該論證留給讀者自行完成。

問題 7

對映 $\pi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ 將其投影到前兩個座標上的最小多項式是什麼？

回答

對映兩次與對映一次相同：$\pi \circ \pi =\pi$，也就是說，$\pi ^{2}=\pi$，因此最小多項式的次數最多為 2，因為 $m(x)=x^{2}-x$ 可以滿足要求。線性多項式不滿足要求，原因在於將對映應用於 $c_{1}\cdot \pi +c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$（其中 $z$ 是零對映）的左側和右側這兩個向量。

${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

因此最小多項式是 $m$。

問題 8

找到一個 $3\!\times \!3$ 矩陣，其最小多項式為 $x^{2}$。

回答

這是一個答案。

${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

問題 9

以下關於 引理 1.9 的證明存在什麼錯誤："如果 $c(x)=\left|T-xI\right|$，那麼 $c(T)=\left|T-TI\right|=0$"？(Cullen 1990)

回答

$x$ 必須是標量，而不是矩陣。

問題 10

透過直接計算驗證 引理 1.9 對於 $2\!\times \!2$ 矩陣。

回答

矩陣

$T={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

的特徵多項式為 $(a-x)(d-x)-bc=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)$。代入

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{2}-(a+d){\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}+(ad-bc){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a^{2}+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}}$

並檢查每個條目之和以檢視結果是否為零矩陣。

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問題 11

證明一個 $n\!\times \!n$ 矩陣的最小多項式的次數至多為 $n$（而不是從本節開頭可以猜到的 $n^{2}$）。驗證這個最大值 $n$ 可以發生。

回答

根據凱萊-哈密頓定理，最小多項式的次數小於或等於特徵多項式的次數 $n$。[示例 1.12] 顯示 $n$ 可能發生。

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問題 12

冪零對映的唯一特徵值為零。證明逆命題成立。

回答

假設 $t$ 的唯一特徵值為零。那麼 $t$ 的特徵多項式為 $x^{n}$。因為 $t$ 滿足其特徵多項式，因此它是一個冪零對映。

問題 13

零對映或矩陣的最小多項式是什麼？單位對映或矩陣的最小多項式是什麼？

回答

最小多項式必須具有首項係數為 $1$，因此如果對映或矩陣的最小多項式是零次多項式，那麼它將是 $m(x)=1$。但單位對映或矩陣僅在平凡向量空間上等於零對映或矩陣。

因此，在非平凡情況下，最小多項式必須至少為一次。零對映或矩陣的最小多項式為 $m(x)=x$，單位對映或矩陣的最小多項式為 $m(x)=x-1$.

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問題 14

從幾何角度解釋[示例 1.2] 的最小多項式。

回答

這個多項式可以從幾何意義上理解為：“一個$60^{\circ }$ 旋轉減去兩個$30^{\circ }$ 旋轉等於恆等變換”。

問題 15

對角矩陣的最小多項式是什麼？

回答

對於一個對角矩陣

$T={\begin{pmatrix}t_{1,1}&0\\0&t_{2,2}\\&&\ddots \\&&&t_{n,n}\end{pmatrix}}$

特徵多項式為$(t_{1,1}-x)(t_{2,2}-x)\cdots (t_{n,n}-x)$。當然，這些因子中的一些可能重複，例如，矩陣可能具有$t_{1,1}=t_{2,2}$。例如，

$D={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

的特徵多項式為$(3-x)^{2}(1-x)=-1\cdot (x-3)^{2}(x-1)$。

為了形成最小多項式，取$x-t_{i,i}$ 項，去掉重複項，並將它們相乘。例如，$D$ 的最小多項式為$(x-3)(x-1)$。為了驗證這一點，首先注意到定理 1.8，凱萊-哈密頓定理，要求特徵多項式中的每個線性因子至少在最小多項式中出現一次。檢查另一個方向——在對角矩陣的情況下，每個線性因子最多隻需要出現一次——的一種方法是使用矩陣論證。一個對角矩陣，從左邊相乘，透過對角線上的元素縮放行。但是在產品中$(T-t_{1,1}I)\cdots$，即使沒有重複因子，每行在至少一個因子中都為零。

例如，在產品中

$(D-3I)(D-1I)=(D-3I)(D-1I)I={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

因為第一個矩陣$D-3I$的第一行和第二行是零，整個乘積的第一行和第二行都將是零。因為中間矩陣$D-1I$的第三行是零，整個乘積的第三行也是零。

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問題 16

投影是指任何滿足 $t^{2}=t$ 的變換 $t$。（例如，平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 上將每個向量投影到其第一個座標的變換，如果執行兩次，將與只執行一次得到的結果相同。）投影的最小多項式是什麼？

回答

本小節從線性變換的冪不能無限增長而不“重複”的觀察開始，也就是說，對於某個冪 $n$，存在一個線性關係 $c_{n}\cdot t^{n}+\dots +c_{1}\cdot t+c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $z$ 是零變換。投影的定義是對於這種對映，一個線性關係是二次的，$t^{2}-t=z$。最後，我們只需要考慮這種關係是否可能不最小，也就是說，是否存在最小多項式是常數或線性的投影？

為了使最小多項式為常數，該對映必須滿足 $c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $c_{0}=1$，因為最小多項式的最高係數是 $1$。這隻有在平凡空間上的零變換才能滿足。這確實是一個投影，但不是一個非常有趣的投影。

如果變換的最小多項式是線性的，則有 $c_{1}\cdot t+c_{0}\cdot {\mbox{id}}=z$，其中 $c_{1}=1$。該方程給出了 $t=-c_{0}\cdot {\mbox{id}}$。結合要求 $t^{2}=t$ 給出了 $t^{2}=(-c_{0})^{2}\cdot {\mbox{id}}=-c_{0}\cdot {\mbox{id}}$，這意味著 $c_{0}=0$ 且 $t$ 是零變換，或者 $c_{0}=1$ 且 $t$ 是恆等變換。

因此，除了投影是零對映或恆等對映的情況外，最小多項式是 $m(x)=x^{2}-x$。

問題 17

這個問題的前兩項是複習。

1. 證明一對一對映的複合對映是一對一的。
2. 證明如果一個線性對映不是一對一的，那麼至少有一個非零向量從定義域對映到陪域中的零向量。
3. 驗證在定理 1.8 之前引用的語句。

   ... 如果變換 $t$ 的最小多項式 $m(x)$ 可以分解為 $m(x)=(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$，則 $m(t)=(t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 是零對映。由於 $m(t)$ 將每個向量對映到零，所以至少有一個對映 $t-\lambda _{i}$ 將一些非零向量對映到零。... 換句話說 ...: 至少有一些 $\lambda _{i}$ 是特徵值。

回答

1. 這是一種普遍的函式性質，不僅僅侷限於線性函式。 假設 $f$ 和 $g$ 是單射函式，使得 $f\circ g$ 有定義。令 $f\circ g(x_{1})=f\circ g(x_{2})$，因此 $f(g(x_{1}))=f(g(x_{2}))$。因為 $f$ 是單射函式，這意味著 $g(x_{1})=g(x_{2})$。因為 $g$ 也是單射函式，這反過來又意味著 $x_{1}=x_{2}$。因此，總結一下，$f\circ g(x_{1})=f\circ g(x_{2})$ 意味著 $x_{1}=x_{2}$，因此 $f\circ g$ 是單射函式。
2. 如果線性對映 $h$ 不是一對一的，那麼存在不等向量 ${\vec {v}}_{1}$，${\vec {v}}_{2}$ 對映到相同的值 $h({\vec {v}}_{1})=h({\vec {v}}_{2})$。因為 $h$ 是線性的，我們有 ${\vec {0}}=h({\vec {v}}_{1})-h({\vec {v}}_{2})=h({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})$，因此 ${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ 是一個來自定義域的非零向量，它被 $h$ 對映到陪域的零向量 (${\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}$ 不等於定義域的零向量，因為 ${\vec {v}}_{1}$ 不等於 ${\vec {v}}_{2}$）。
3. 最小多項式 $m(t)$ 將域中的每個向量都對映到零向量，因此它不是一一對映的（除了我們忽略的平凡空間）。根據這個問題的第一項，由於複合 $m(t)$ 不是一一對映的，至少有一個分量 $t-\lambda _{i}$ 不是一一對映的。根據第二項，$t-\lambda _{i}$ 有一個非平凡的零空間。因為 $(t-\lambda _{i})({\vec {v}})={\vec {0}}$ 成立當且僅當 $t({\vec {v}})=\lambda _{i}\cdot {\vec {v}}$，前面的句子表明 $\lambda _{i}$ 是一個特徵值（回想一下，特徵值的定義要求該關係對至少一個非零向量 ${\vec {v}}$ 成立）。

問題 18

判斷真偽：對於在一個 $n$ 維空間上的變換，如果最小多項式的次數為 $n$，則該對映是可對角化的。

回答

這是錯誤的。非可對角化變換的自然例子就適用在這裡。考慮 $\mathbb {C} ^{2}$ 的變換，它相對於標準基表示為該矩陣。

$N={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

特徵多項式是 $c(x)=x^{2}$。因此最小多項式要麼是 $m_{1}(x)=x$，要麼是 $m_{2}(x)=x^{2}$。第一個是不正確的，因為 $N-0\cdot I$ 不是零矩陣，因此在這個例子中，最小多項式的次數等於底層空間的維數，而且，正如我們所知道的，該矩陣不可對角化，因為它冪零。

問題 19

設 $f(x)$ 為多項式。證明如果 $A$ 和 $B$ 是相似矩陣，那麼 $f(A)$ 與 $f(B)$ 相似。

1. 現在證明相似矩陣具有相同的特徵多項式。
2. 證明相似矩陣具有相同的最小多項式。
3. 判斷以下兩個矩陣是否相似。

   ${\begin{pmatrix}1&3\\2&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

回答

設 $A$ 和 $B$ 是相似矩陣，即 $A=PBP^{-1}$。從以下事實中

$A^{n}=(PBP^{-1})^{n}=(PBP^{-1})(PBP^{-1})\cdots (PBP^{-1})$

$=PB(P^{-1}P)B(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)BP^{-1}=PB^{n}P^{-1}$

和 $c\cdot A=c\cdot (PBP^{-1})=P(c\cdot B)P^{-1}$ 可以得到對於任何多項式函式 $f$ 都有 $f(A)=P\,f(B)\,P^{-1}$。例如，如果 $f(x)=x^{2}+2x+3$，那麼

$A^{2}+2A+3I=(PBP^{-1})^{2}+2\cdot PBP^{-1}+3\cdot I$

$=(PBP^{-1})(PBP^{-1})+P(2B)P^{-1}+3\cdot PP^{-1}=P(B^{2}+2B+3I)P^{-1}$

表明 $f(A)$ 與 $f(B)$ 相似。

1. 令 $f$ 為一個線性多項式，則有 $A-xI$ 與 $B-xI$ 相似。 相似矩陣具有相同的行列式（因為 $\left|A\right|=\left|PBP^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|B\right|\cdot \left|P^{-1}\right|=1\cdot \left|B\right|\cdot 1=\left|B\right|$）。因此，特徵多項式是相等的。
2. 由於 $P$ 和 $P^{-1}$ 是可逆的，$f(A)$ 當且僅當 $f(B)$ 為零矩陣時為零矩陣。
3. 它們不能相似，因為它們沒有相同的特徵多項式。第一個矩陣的特徵多項式是 $x^{2}-4x-3$，而第二個矩陣的特徵多項式是 $x^{2}-5x+5$。

問題 20

1. 證明一個矩陣可逆當且僅當其極小多項式的常數項不為 $0$。
2. 證明如果一個方陣 $T$ 不可逆，則存在一個非零矩陣 $S$ 使得 $ST$ 和 $TS$ 都等於零矩陣。

回答

假設 $m(x)=x^{n}+m_{n-1}x^{n-1}+\dots +m_{1}x+m_{0}$ 是 $T$ 的最小多項式。

1. 對於“if”引數，因為 $T^{n}+\dots +m_{1}T+m_{0}I$ 是零矩陣，我們有 $I=(T^{n}+\dots +m_{1}T)/(-m_{0})=T\cdot (T^{n-1}+\dots +m_{1}I)/(-m_{0})$ 因此矩陣 $(-1/m_{0})\cdot (T^{n-1}+\dots +m_{1}I)$ 是 $T$ 的逆矩陣。對於“only if”，假設 $m_{0}=0$（我們把 $n=1$ 的情況放在一邊，但它很容易）因此 $T^{n}+\dots +m_{1}T=(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T$ 是零矩陣。注意 $T^{n-1}+\dots +m_{1}I$ 不是零矩陣，因為最小多項式的次數是 $n$。如果 $T^{-1}$ 存在，那麼將 $(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T$ 和零矩陣從右邊乘以 $T^{-1}$ 會導致矛盾。
2. 如果 $T$ 不可逆，那麼它的最小多項式中的常數項為零。因此，

   $T^{n}+\dots +m_{1}T=(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)T=T(T^{n-1}+\dots +m_{1}I)$

   是零矩陣。

此練習推薦給所有讀者。

問題 21

1. 完成對 引理 1.7 的證明。
2. 舉一個例子來說明，如果 $t$ 不是線性的，結果就不成立。

回答

1. 對於歸納步驟，假設 引理 1.7 對於度數為 $i,\ldots ,k-1$ 的多項式成立，並考慮一個度數為 $k$ 的多項式 $f(x)$。將 $f(x)=k(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 因式分解，並令 $k(x-\lambda _{1})^{q_{1}-1}\cdots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 為 $c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$。代入

   ${\begin{array}{rl}k(t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}({\vec {v}})&=(t-\lambda _{1})\circ (t-\lambda _{1})^{q_{1}}\circ \cdots \circ (t-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}({\vec {v}})\\&=(t-\lambda _{1})\,(c_{n-1}t^{n-1}({\vec {v}})+\cdots +c_{0}{\vec {v}})\\&=f(t)({\vec {v}})\end{array}}$

   (第二個等式由歸納假設得出，第三個等式由 $t$ 的線性性得出)。
2. 舉個例子，考慮平方對映 $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，它由 $s(x)=x^{2}$ 給出。它是非線性的。由多項式 $f(t)=t^{2}-1$ 定義的作用將 $s$ 變為 $f(s)=s^{2}-1$，這就是這個對映。

   $x{\stackrel {s^{2}-1}{\longmapsto }}s\circ s(x)-1=x^{4}-1$

   觀察到這個對映不同於對映 $(s-1)\circ (s+1)$；例如，第一個對映將 $x=5$ 對映到 $624$，而第二個對映將 $x=5$ 對映到 $675$。

問題 22

任何變換或方陣都存在一個最小多項式。反過來是否成立？

回答

是的。展開最後一列以檢查 $x^{n}+m_{n-1}x^{n-1}+\dots +m_{1}x+m_{0}$ 是這個行列式加上或減去符號。

${\begin{pmatrix}-x&0&0&&&m_{0}\\0&1-x&0&&&m_{1}\\0&0&1-x&&&m_{2}\\&&&\ddots \\&&&&1-x&m_{n-1}\end{pmatrix}}$

參考資料

• Cullen, Charles G. (1990), Matrices and Linear Transformations (Second ed.), Dover.