線性代數/商空間

定義

令 V 為域 F 上的向量空間，令 H 為子空間。定義一個等價關係，其中 V 中的x和y被稱為等價，當且僅當x-y是 H 的元素。定義兩個等價類 X 和 Y 的和為包含x+y的等價類，其中x在 X 中，y在 Y 中，以及標量倍數 aX，其中 a 是 F 的元素，為包含 ax的等價類，其中x在 X 中。

和是定義良好的，因為如果x₁和x₂在 X 中，y₁和y₂在 Y 中，那麼x₁+y₁-(x₂+y₂)=(x₁-x₂)+(y₁-y₂)，它是 H 的元素，所以它們的和是等價的。

標量倍數也是定義良好的，因為如果x₁和x₂在 X 中，a 是 F 的元素，那麼 ax₁-ax₂=a(x₁-x₂)，它是 H 的元素，所以它們是等價的。

給定等價類 X 和 Y，元素x在 X 中，y在 Y 中，z在 Z 中，元素a和b在 F 中，X+Y 和 Y+X 都包含x+y，因此是相同的，(X+Y)+Z 和 X+(Y+Z) 都包含x+y+z，因此是相同的，H 是加法的單位元，因為對於任何 h 在 H 中，(x+h)-x=h 在 H 中，所以 X+H=X，包含-x的等價類是 X 的逆元，1X 包含 1x=x，因此與 X 相同，a(bX) 和 (ab)X 都包含 abx，因此是相同的，(a+b)X 和 aX+bX 是相同的，因為它們都包含 ax+bx，a(X+Y) 和 aX+aY 是相同的，因為它們都包含 ax+ay。

上面一段表明，具有加法和標量乘法的等價類也形成一個向量空間，稱為商空間。這個向量空間表示為 V/H。

定理

如果 V 的維數為 d，H 的維數為 s，那麼 V/H 的維數為 d-s。