線性代數/行空間和列空間

我們已經討論了向量空間，現在將基和維的概念與向量空間結合起來，並將之前應用的線性相關性和秩的概念結合起來。我們將把這些重要的概念應用於對 n 個變數的 m 個線性方程組的通解。

定義

假設我們有一個域 F 和一個 m×n 矩陣，其中元素屬於 F，令 r 為該矩陣的秩。

將矩陣的列或行視為向量空間中的元素，其中加法和標量乘法已定義。可以很容易地驗證它們構成一個向量空間。

令 M 為矩陣 F 的 r 階子式。該子式稱為基子式，該子式的列和行分別稱為基列和基行。矩陣的列空間和行空間分別是矩陣的列和行所張成的向量空間。

定理

矩陣的列空間和行空間的維數都等於 r，即矩陣的秩，並且基列（或基行）構成列空間（或行空間）的基。

證明

令 𝐴 為一個 𝑚×𝑛 矩陣，秩為 𝑟。考慮一個 𝑚×𝑟 矩陣 𝐿，該矩陣由構成基（向量）的 𝐴 的 𝑟 列組成。根據 𝐿 的構造，𝐴 的每一列都可以寫成 𝐿 的列的線性組合，即存在一個 𝑟×𝑛 矩陣 𝑍，使得 𝐴=𝐿𝑍。這意味著 𝐴 的每一行都可以寫成 𝑍 的 𝑟 行的線性組合，即 𝐴 的行空間由 𝑍 的行張成。也就是說，𝐴 的行秩被 𝑟 上界。此外，𝐴^𝑇=𝑍^𝑇𝐿^𝑇。顯然，𝑍^𝑇𝐿^𝑇 的值域包含在 𝑍^𝑇 的值域中。因此，𝐴^𝑇 的秩至多為 𝐴 的秩。此論證適用於任何矩陣。使用以上論證以及從 𝐴𝑇 開始的類似論證，我們得出結論，轉置不會改變矩陣的秩。

推論

當 n>r 時，任何 n 列都是線性相關的。
當矩陣的列（或行）的數量大於秩時，它們是線性相關的；當矩陣的列（或行）的數量等於秩時，它們是線性無關的。
線性無關的行的最大數量等於線性無關的列的最大數量。