線性代數/集合的生成空間

定義

令 V 是域 F 上的向量空間。從向量空間 V 中選擇 n 個向量 x₁、x₂、x₃、...、x_n。由 x₁、x₂、x₃、...、x_n 生成的線性流形定義為 V 中所有形式為 a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+...+a_nx_n 的元素，其中 a₁、a₂、a₃、...、a_n 都是域 F 的元素，並記為 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。這顯然是向量空間 V 的線性子空間。由於 V 的每個線性子空間都包含 x₁、x₂、x₃、...、x_n 及其線性組合，因此 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 是包含 x₁、x₂、x₃、...、x_n 的最小子空間。

定理

如果 y₁、y₂、x_y、...、y_m 是 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的元素，則 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 包含在 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 中。

證明

屬於線性流形的向量的所有線性組合也屬於線性流形（因為向量的線性組合的線性組合也是這些向量的線性組合），並且由於 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 的任何元素都是流形內向量的線性組合，它也屬於該集合，因此證明了 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 包含在 S(y₁, y₂, y₃, ..., y_m) 中。

定理

如果 x 線性依賴於其他向量 x₁、x₂、x₃、...、x_n，則它也屬於 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。

證明

x、x₁、x₂、x₃、...、x_n 都屬於 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)，則 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 必須包含在 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 中。因此，如果 x 線性依賴於 x₁、x₂、x₃、...、x_n，則 S(x, x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 等於 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n)。

定理

一組向量中線性無關向量的最大數量等於該組向量生成空間的維數。

證明

假設 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中有 d 個線性無關向量，所有其他向量都是這 d 個線性無關向量的線性組合。這個數字 d 是 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中線性無關向量的最大數量。那麼 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的任何元素都必須是這 d 個線性無關向量的線性組合，因此它們構成一個基，因此 d 是 S(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) 的維數，它等於 x₁、x₂、x₃、...、x_n 中線性無關向量的最大數量。