線性代數/子空間

假設 V 是一個在域 F 上的向量空間。向量空間 V 中的一個非空向量集 H 被定義為 V 的子空間，當

如果 u 和 v 是 H 的元素，那麼 u+v 也必須是 H 的元素

如果 u 是 H 的元素，而 c 是 F 的元素，那麼 cu 也是 H 的元素

其中 H 中的加法和標量乘法定義為與 V 中的加法和標量乘法相同，當所有涉及的向量都在 H 內。

任何向量空間的子空間也是一個向量空間，因為當 x、y 和 z 是 H 的元素，而 c 和 d 是 F 的元素時，顯然成立：x+y=y+x 和 (x+y)+z=x+(y+z)，因為它們是 V 的元素，並且 1x=x，c(dx)=(cd)x，(a+b)x=ax+bx，a(x+y)=ax+ay，因為 x 和 y 是 V 的元素，並且根據第二個條件，對於每個 x，在集合中存在一個 0x，它就是單位元，所以它的單位元在子空間內，並且根據第二個條件，對於每個 x，存在一個 (-1)x，它就是它的逆元。因此，向量空間的所有子空間也是向量空間。

子空間的性質

如果一組向量在向量空間 V 的子空間 H 中，並且這些向量在 V 中線性無關，那麼它們在 H 中也線性無關。這意味著 H 的維數小於或等於 V 的維數。

此外，對於子空間 H 中的每個基，在 V 中存在一個包含 H 的基的基。這來自之前證明的完備定理。

維數

向量空間 V 上的一組向量v₁、v₂、v₃、…、v_n 在域 F 上被稱為在子空間 H 上線性無關，當對於域 F 中的元素 a₁、a₂、a₃、…、a_n，a₁v₁+a₂v₂+a₃v₃+...+a_nv_n 僅當 a₁、a₂、a₃、…、a_n 全部等於 0 時才是 H 的元素。在僅包含 0 向量的子空間上，線性無關顯然與普通的線性無關相同。在 V 中，線性無關於 H 的最大向量數被定義為 V 相對於 H 的維數。

如果 V 中的一組向量 O 在 H 上線性無關，而一組向量 I 在 H 內線性無關，那麼這兩組向量的並集也是線性無關的。這是因為，如果這些向量存線上性組合，那麼它只有當 O 中向量的線性組合是 I 中向量的線性組合的反向時才能等於 0，它也在 H 內，這意味著 O 中元素的係數都為 0，但也意味著 I 中的所有元素都為 0。

如果對於向量空間 V 的任何子空間 H，我們有一個 H 的基 B，以及包含 B 的 V 的基 C，那麼 C-B 中的元素在 H 上線性無關，因為 H 中的任何元素都必須線性依賴於 B 中的元素（因為它是 H 的基），並且由於 C-B 中的元素都線性無關於 C-B 中的元素，所以它們的任何線性組合，其中不全是 0 係數，一定不是 H 的元素，從而證明它們在 H 上線性無關。因此，如果一個向量空間的維數是 d，而一個子空間的維數是 s，則該向量空間相對於該子空間的維數是 d-s。