線性代數/主題：計算的精度/解

解

問題 1

使用兩位小數，將 $253$ 和 $2/3$ 相加。

答案

科學記數法便於表達兩位小數的限制。我們有 $.25\times 10^{2}+.67\times 10^{0}=.25\times 10^{2}$ 。 $2/3$ 沒有明顯的影響。

問題 2

這個求直線交點的例子與上面討論的例子形成對比。

$\displaystyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\3x&-&2y&=&1\end{array}}$

透過將底部方程中的常數改為 $1.008$ 並求解，說明在這個系統中，數字的微小變化只會對解產生微小的變化。將其與未更改系統的解進行比較。

答案

化簡

{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\&&-8&=&-7.992\end{array}}

得到解 $(x,y)=(1.002,0.999)$ .

問題 3

用手解這個系統 (Rice 1993).

{\begin{array}{*{2}{rc}r}0.000\,3x&+&1.556y&=&1.569\\0.345\,4x&-&2.346y&=&1.018\end{array}}

精確地用手求解。
在每一步都舍入到四位有效數字的情況下求解。

答案

完全精確的解是 $x=10$ 和 $y=0$ .
四位有效數字的結論截然不同。
${\xrightarrow[{}]{-(.3454/.0003)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}.0003&1.556&1.569\\0&1789&-1805\end{array}}\right)\Longrightarrow x=10460,\,y=-1.009$

問題 4

計算機內部的舍入通常會影響結果。假設你的機器有八位有效數字。

證明機器會將 $(2/3)+((2/3)-(1/3))$ 計算為不等於 $((2/3)+(2/3))-(1/3)$ 。因此，計算機算術不具有結合性。
比較計算機版本的 $(1/3)x+y=0$ 和 $(2/3)x+2y=0$ 。第一個方程的兩倍是否等於第二個方程？

答案

對於第一個方程，首先， $(2/3)-(1/3)$ 為 $.666\,666\,67-.333\,333\,33=.333\,333\,34$ ，所以 $(2/3)+((2/3)-(1/3))=.666\,666\,67+.333\,333\,34=1.000\,000\,0$ 。對於另一個，首先 $((2/3)+(2/3))=.666\,666\,67+.666\,666\,67=1.333\,333\,3$ ，所以 $((2/3)+(2/3))-(1/3)=1.333\,333\,3-.333\,333\,33=.999\,999\,97$ 。
第一個方程是 $.333\,333\,33\cdot x+1.000\,000\,0\cdot y=0$ ，而第二個方程是 $.666\,666\,67\cdot x+2.000\,000\,0\cdot y=0$ 。

問題 5

病態性不僅取決於係數矩陣。這個例子（Hamming 1971）表明它可以從系統左右兩邊的互動作用中產生。令 $\varepsilon$ 是一個小的實數。

{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&6\\2x&+&2\varepsilon y&+&2\varepsilon z&=&2+4\varepsilon \\x&+&2\varepsilon y&-&\varepsilon z&=&1+\varepsilon \end{array}}

透過手工計算解方程組。注意， $\varepsilon$ 可以被消去，僅僅是因為右邊和左邊的整數部分都完全抵消了。
透過手工計算解方程組，保留兩位小數，並令 $\varepsilon =0.001$ .

答案

這個計算
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&-(2/3)+2\varepsilon &-(1/3)-\varepsilon &-1+\varepsilon \end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;&\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}3&2&1&6\\0&-(4/3)+2\varepsilon &-(2/3)+2\varepsilon &-2+4\varepsilon \\0&\varepsilon &-2\varepsilon &-\varepsilon \end{array}}\right)\end{array}}$
得到了第三個方程 $y-2z=-1$ 。將此代入第二個方程得到 $((-10/3)+6\varepsilon )\cdot z=(-10/3)+6\varepsilon$ ，所以 $z=1$ ，因此 $y=1$ 。有了這些，第一個方程就表明 $x=1$ .
保留兩位小數的解
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\.10\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{-3}&.20\times 10^{1}\\.30\times 10^{1}&.20\times 10^{-3}&-.10\times 10^{-3}&.10\times 10^{1}\end{array}}\right)$
${\begin{aligned}&{\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&-.67\times 10^{0}&-.33\times 10^{0}&-.10\times 10^{1}\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-(.67/1.3)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}.30\times 10^{1}&.20\times 10^{1}&.10\times 10^{1}&.60\times 10^{1}\\0&-.13\times 10^{1}&-.67\times 10^{0}&-.20\times 10^{1}\\0&0&.15\times 10^{-2}&.31\times 10^{-2}\end{array}}\right)\end{aligned}}$
最後結果為 $z=2.1$ ， $y=2.6$ 和 $x=-.43$ .