線性代數/主題：最佳擬合線/解決方案

解決方案

問題 1

使用最小二乘法判斷這個實驗中的硬幣是否公平。

拋擲次數	8	16	24	32	40
正面次數	4	9	13	17	20

答案

與上面討論的第一個示例一樣，我們試圖找到一個最佳的 $m$ 來“解決”此係統。

{\begin{array}{*{5}{rc}r}8m&=&4\\16m&=&9\\24m&=&13\\32m&=&17\\40m&=&20\end{array}}

投影到線性子空間給出

{\frac {{\begin{pmatrix}4\\9\\13\\17\\20\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}={\frac {1832}{3520}}\cdot {\begin{pmatrix}8\\16\\24\\32\\40\end{pmatrix}}

所以最佳擬合線的斜率大約為 $0.52$ .

問題 2

對於男子英里紀錄，我們並沒有給出所有紀錄及其確切日期，而是透過定期取樣對資料進行了“平滑”處理。進行更長的計算並比較結論。

答案

有了這個輸入

A={\begin{pmatrix}1&1852.71\\1&1858.88\\\vdots &\vdots \\1&1985.54\\1&1993.71\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}292.0\\285.0\\\vdots \\226.32\\224.39\end{pmatrix}}

(日期已四捨五入到月份，例如，對於 9 月的記錄，小數 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用)，Maple 響應的截距為 $b=994.8276974$ ，斜率為 $m=-0.3871993827$ .

問題 3

找到男子 $1500$ 米賽跑的最佳擬合線。斜率與男子英里的斜率相比如何？（距離很接近；一英里約為 $1609$ 米。）

答案

有了這個輸入（年份以 $1900$ 為零）

A:={\begin{pmatrix}1&.38\\1&.54\\\vdots \vdots \\1&92.71\\1&95.54\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}249.0\\246.2\\\vdots \\208.86\\207.37\end{pmatrix}}

(例如，對於 9 月份的記錄，小數 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用），Maple 給出了截距 $b=243.1590327$ 和斜率 $m=-0.401647703$ 。本主題中針對男子英里賽的斜率非常接近這個值。

問題 4: 找到女子英里賽記錄的最佳擬合直線。
答案

有了這個輸入（年份以 $1900$ 為零）

A={\begin{pmatrix}1&21.46\\1&32.63\\\vdots &\vdots \\1&89.54\\1&96.63\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}373.2\\327.5\\\vdots \\255.61\\252.56\end{pmatrix}}

(例如，對於 9 月份的記錄，小數 $.71\approx (8.5/12)$ 被使用），MAPLE 給出了截距 $b=378.7114894$ 和斜率 $m=-1.445753225$ .

問題 5

男子英里賽和女子英里賽的最佳擬合直線會相交嗎？

答案

以下是男子和女子英里賽的直線方程（女子英里賽方程的縱軸截距項已從上面的答案中調整，以使其在年份 $0$ 為零，因為男子英里賽的方程就是這麼做的）。

{\begin{array}{rl}y&=994.8276974-0.3871993827x\\y&=3125.6426-1.445753225x\end{array}}

顯然，這兩條線相交。使用計算機程式是最簡單的計算方法：MuPAD 給出了 $x=2012.949004$ 和 $y=215.4150856$ ( $215$ 秒是 $3$ 分鐘和 $35$ 秒)。注意：當然，所有這些預測都非常不可靠——一方面，女性的方程受到早期速度較慢的影響——但它仍然很有趣。

問題 6

1986 年，當挑戰者號太空梭爆炸時，人們對 NASA 的發射決定提出了批評，其中之一就是對 O 形環故障次數與溫度之間關係的分析方式（當然，O 形環故障導致了爆炸）。四個 O 形環故障會導致火箭爆炸。NASA 有來自之前 24 次飛行的相關資料。

溫度 (°F)	53	75	57	58	63	70	70	66	67	67	67
故障次數	3	2	1	1	1	1	1	0	0	0	0
溫度 (°F)	68	69	70	70	72	73	75	76	76	78	79	80	81
故障次數	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

那天預報的溫度是 $31^{\circ }{\text{F}}$ .

NASA 的發射決定部分基於一張圖表，該圖表僅顯示至少發生一次 O 形環故障的飛行資料。找到最適合這七次飛行的直線。根據這些資料，預測當溫度為 $31$ 時 O 形環故障次數，以及故障次數何時超過四次。
找到最適合所有 24 次飛行的直線。根據這些額外資料，預測當溫度為 $31$ 時 O 形環故障次數，以及故障次數何時超過四次。

您認為哪種預測方法更準確？（Dalal, Folkes & Hoadley 1989）中有一個非常棒的討論。

答案

像 MAPLE 或 MuPAD 這樣的計算機代數系統會給出截距為 $b=4259/1398\approx 3.239628$ ，斜率為 $m=-71/2796\approx -0.025393419$ 。將 $x=31$ 代入方程，得到預測的 O 形環故障次數為 $y=2.45$ （四捨五入到兩位小數）。代入 $y=4$ 並求解得到溫度為 $x=-29.94^{\circ }$ F。
根據這些資訊
$A={\begin{pmatrix}1&53\\1&75\\\vdots \\1&80\\1&81\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}3\\2\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}$
MAPLE 給出了截距 $b=187/40=4.675$ 和斜率 $m=-73/1200\approx -0.060833$ 。在此，將 $x=31$ 代入方程，預測 $y=2.79$ 個 O 型環故障（四捨五入到兩位小數）。代入 $y=4$ 個故障，得到溫度 $x=11^{\circ }$ F。

問題 7

此表列出了前七顆行星到太陽的平均距離，以地球的平均距離為單位。

水星	金星	地球	火星	木星	土星	天王星
0.39	0.72	1.00	1.52	5.20	9.54	19.2

繪製行星序號（水星為 $1$ ，等等）與距離的圖。請注意，它看起來不像一條線，因此尋找最佳擬合線毫無意義。
然而，它看起來像一條指數曲線。因此，繪製行星序號與距離的對數的圖。它看起來像一條線嗎？
人們認為火星和木星之間的小行星帶是一顆破碎行星的殘骸。重新編號，使木星為 $6$ ，土星為 $7$ ，天王星為 $8$ ，並再次繪製與對數的圖。它看起來更好嗎？
使用最小二乘法對該資料進行預測海王星的位置。
重複以預測冥王星的位置。
該公式對於海王星和冥王星是否準確？

這種方法被用來幫助發現海王星（儘管第二項關於歷史的描述具有誤導性；實際上，發現位置 $9$ 的海王星促使人們在位置 $5$ 尋找“失蹤的行星”。參見 (Gardner 1970)

答案

該圖是非線性的。
這是該圖。

在行星 $4$ 和行星 $5$ 之間可能有一個上跳。
這個圖看起來更線性。
有了這個輸入
$A={\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\\1&4\\1&6\\1&7\\1&8\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}-0.40893539\\-0.1426675\\0\\0.18184359\\0.71600334\\0.97954837\\1.2833012\end{pmatrix}}$
MuPAD 計算得出截距為 $b=-0.6780677466$ ，斜率為 $m=0.2372763818$ 。
將 $x=9$ 代入前一項的方程 $y=-0.6780677466+0.2372763818x$ ，得出距離的對數為 $1.4574197$ ，因此預期的距離為 $28.669472$ 。實際距離約為 $30.003$ 。
將 $x=10$ 代入同一個方程，得出距離的對數為 $1.6946961$ ，因此預期的距離為 $49.510362$ 。實際距離約為 $39.503$ 。

問題 8

威廉·貝內特為美國提出了一個領先文化指標指數 (貝內特 1993)。所引用的統計資料包括每天平均觀看電視時間和平均 SAT 成績。

	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1992
電視	5:06	5:29	5:56	6:07	6:36	7:07	6:55	7:04
SAT	975	969	948	910	890	906	900	899

假設在觀看電視時間與 SAT 成績下降之間存在因果關係（在這篇文章中，貝內特先生並未爭論存在直接聯絡）。

找出將每天平均觀看電視時間（自變數）與 SAT 成績（因變數）聯絡起來的最佳擬合線。
找到最近的每天平均觀看電視時間的估計值（貝內特引用尼爾森媒體研究作為這些估計值來源）。估計相關的 SAT 成績。你的估計值與實際平均值有多接近？（警告：SAT 最近發生了一些變化，因此你應該調查是否需要對報告的平均值進行一些調整才能進行有效比較）。

答案

有了這個輸入
$A={\begin{pmatrix}1&306\\1&329\\1&356\\1&367\\1&396\\1&427\\1&415\\1&424\end{pmatrix}}\qquad b={\begin{pmatrix}975\\969\\948\\910\\890\\906\\900\\899\end{pmatrix}}$
MAPLE 計算得出截距 $b=34009779/28796\approx 1181.0591$ 和斜率 $m=-19561/28796\approx -0.6793$ 。

補充資料

以下是關於世界紀錄的演變資料（摘自 Runner's World 網站）。

男子英里紀錄的演變
時間	姓名	日期
4:52.0	馬歇爾學員 (GBR)	02Sep52
4:45.0	托馬斯·芬奇 (GBR)	03Nov58
4:40.0	傑拉德·薩曼 (GBR)	24Nov59
4:33.0	喬治·法蘭 (IRL)	23May62
4:29 3/5	沃爾特·奇內裡 (GBR)	10Mar68
4:28 4/5	威廉·吉布斯 (GBR)	03Apr68
4:28 3/5	查爾斯·岡頓 (GBR)	31Mar73
4:26.0	沃爾特·斯萊德 (GBR)	30May74
4:24 1/2	沃爾特·斯萊德 (GBR)	19Jun75
4:23 1/5	沃爾特·喬治 (GBR)	16Aug80
4:19 2/5	沃爾特·喬治 (GBR)	03Jun82
4:18 2/5	沃爾特·喬治 (GBR)	21Jun84
4:17 4/5	托馬斯·康奈夫 (USA)	26Aug93
4:17.0	弗雷德·貝肯 (GBR)	06Jul95
4:15 3/5	托馬斯·康奈夫 (USA)	28Aug95
4:15 2/5	約翰·保羅·瓊斯 (USA)	27May11
4:14.4	約翰·保羅·瓊斯 (USA)	31May13
4:12.6	諾曼·塔伯 (USA)	16Jul15
4:10.4	巴沃·努爾米 (FIN)	23Aug23
4:09 1/5	朱爾斯·拉杜梅格 (FRA)	04Oct31
4:07.6	傑克·洛弗洛克 (NZL)	15Jul33
4:06.8	格倫·坎寧安 (USA)	16Jun34
4:06.4	悉尼·伍德森 (GBR)	28Aug37
4:06.2	貢德·哈格 (SWE)	01Jul42
4:04.6	貢德·哈格 (SWE)	04Sep42
4:02.6	阿恩·安德森 (SWE)	01Jul43
4:01.6	阿恩·安德森 (SWE)	18Jul44
4:01.4	貢德·哈格 (SWE)	17Jul45
3:59.4	羅傑·班尼斯特 (GBR)	06May54
3:58.0	約翰·蘭迪 (AUS)	21Jun54
3:57.2	德雷克·伊博特森 (GBR)	19Jul57
3:54.5	赫布·埃利奧特 (AUS)	06Aug58
3:54.4	彼得·斯奈爾 (NZL)	27Jan62
3:54.1	彼得·斯奈爾 (NZL)	17Nov64
3:53.6	米歇爾·雅齊 (FRA)	09Jun65
3:51.3	吉姆·瑞恩 (USA)	17Jul66
3:51.1	吉姆·瑞恩 (USA)	23Jun67
3:51.0	菲爾伯特·巴伊 (TAN)	17May75
3:49.4	約翰·沃克 (NZL)	12Aug75
3:49.0	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	17Jul79
3:48.8	史蒂夫·奧維特 (GBR)	01Jul80
3:48.53	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	19Aug81
3:48.40	史蒂夫·奧維特 (GBR)	26Aug81
3:47.33	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	28Aug81
3:46.32	史蒂夫·克萊姆 (GBR)	27Jul85
3:44.39	努雷丁·莫塞利 (ALG)	05Sep93
3:43.13	希尚·埃爾·格魯伊 (MOR)	07Jul99

男子1500米紀錄的進步
時間	姓名	日期
4:09.0	約翰·佈雷 (USA)	30May00
4:06.2	查爾斯·貝內特 (GBR)	15Jul00
4:05.4	詹姆斯·萊特博迪 (USA)	03Sep04
3:59.8	哈羅德·威爾遜 (GBR)	30May08
3:59.2	亞伯·基維亞特 (USA)	26May12
3:56.8	亞伯·基維亞特 (USA)	02Jun12
3:55.8	亞伯·基維亞特 (USA)	08Jun12
3:55.0	諾曼·塔伯 (USA)	16Jul15
3:54.7	約翰·贊德 (SWE)	05Aug17
3:53.0	巴沃·努爾米 (FIN)	23Aug23
3:52.6	巴沃·努爾米 (FIN)	19Jun24
3:51.0	奧托·佩爾策 (GER)	11Sep26
3:49.2	朱爾斯·拉杜梅格 (FRA)	05Oct30
3:49.0	路易吉·貝卡利 (ITA)	17Sep33
3:48.8	威廉·邦特隆 (USA)	30Jun34
3:47.8	傑克·洛弗洛克 (NZL)	06Aug36
3:47.6	貢德·哈格 (SWE)	10Aug41
3:45.8	貢德·哈格 (SWE)	17Jul42
3:45.0	阿恩·安德森 (SWE)	17Aug43
3:43.0	貢德·哈格 (SWE)	07Jul44
3:42.8	韋斯·桑提 (USA)	04Jun54
3:41.8	約翰·蘭迪 (AUS)	21Jun54
3:40.8	桑多·伊哈羅斯 (HUN)	28Jul55
3:40.6	伊斯特萬·羅扎沃吉 (HUN)	03Aug56
3:40.2	奧拉維·薩爾索拉 (FIN)	11Jul57
3:38.1	斯塔尼斯拉夫·容維爾特 (CZE)	12Jul57
3:36.0	赫布·埃利奧特 (AUS)	28Aug58
3:35.6	赫布·埃利奧特 (AUS)	06Sep60
3:33.1	吉姆·瑞恩 (USA)	08Jul67
3:32.2	菲爾伯特·巴伊 (TAN)	02Feb74
3:32.1	塞巴斯蒂安·科 (GBR)	15Aug79
3:31.36	史蒂夫·奧維特 (GBR)	27Aug80
3:31.24	悉尼·馬裡 (usa)	28Aug83
3:30.77	史蒂夫·奧維特 (GBR)	04Sep83
3:29.67	史蒂夫·克萊姆 (GBR)	16Jul85
3:29.46	薩伊德·阿威塔 (MOR)	23Aug85
3:28.86	努雷丁·莫塞利 (ALG)	06Sep92
3:27.37	努雷丁·莫塞利 (ALG)	12Jul95
3:26.00	希尚·埃爾·格魯伊 (MOR)	14Jul98

女子英里紀錄的進步
時間	姓名	日期
6:13.2	伊麗莎白·阿特金森 (GBR)	24Jun21
5:27.5	魯思·克里斯馬斯 (GBR)	20Aug32
5:24.0	格拉迪斯·倫 (GBR)	01Jun36
5:23.0	格拉迪斯·倫 (GBR)	18Jul36
5:20.8	格拉迪斯·倫 (GBR)	08May37
5:17.0	格拉迪斯·倫 (GBR)	07Aug37
5:15.3	伊芙琳·福斯特 (GBR)	22Jul39
5:11.0	安妮·奧利弗 (GBR)	14Jun52
5:09.8	埃尼德·哈丁 (GBR)	04Jul53
5:08.0	安妮·奧利弗 (GBR)	12Sep53
5:02.6	戴安·萊瑟 (GBR)	30Sep53
5:00.3	埃迪絲·特雷巴爾 (ROM)	01Nov53
5:00.2	戴安·萊瑟 (GBR)	26May54
4:59.6	戴安·萊瑟 (GBR)	29May54
4:50.8	戴安·萊瑟 (GBR)	24May55
4:45.0	戴安·萊瑟 (GBR)	21Sep55
4:41.4	瑪麗斯·張伯倫 (NZL)	08Dec62
4:39.2	安妮·史密斯 (GBR)	13May67
4:37.0	安妮·史密斯 (GBR)	03Jun67
4:36.8	瑪麗亞·戈默斯 (HOL)	14Jun69
4:35.3	艾倫·提特爾 (FRG)	20Aug71
4:34.9	格倫達·賴瑟 (CAN)	07Jul73
4:29.5	保拉·皮格尼-卡基 (ITA)	08Aug73
4:23.8	納塔利婭·馬拉塞斯庫 (ROM)	21May77
4:22.1	納塔利婭·馬拉塞斯庫 (ROM)	27Jan79
4:21.7	瑪麗·德克爾 (USA)	26Jan80
4:20.89	柳德米拉·韋塞爾科娃 (SOV)	12Sep81
4:18.08	瑪麗·德克爾-塔布 (USA)	09Jul82
4:17.44	馬里奇卡·普伊卡 (ROM)	16Sep82
4:15.8	納塔利婭·阿特約莫娃 (SOV)	05Aug84
4:16.71	瑪麗·德克爾-斯萊尼 (USA)	21Aug85
4:15.61	保拉·伊萬 (ROM)	10Jul89
4:12.56	斯維特拉娜·馬斯特科娃 (RUS)	14Aug96

參考資料

Bennett, William (1993 年 3 月 15 日)，“量化美國的衰落”，《華爾街日報》{{citation}}: CS1 維護：日期和年份 (link)
Dalal, Siddhartha; Folkes, Edward; Hoadley, Bruce (1989 年秋季)，“從挑戰者號中學到的教訓：統計學視角”，《統計學學生雜誌》，第 14-18 頁{{citation}}: CS1 維護：日期和年份 (link)
Gardner, Martin (1970 年 4 月)，“數學遊戲，太陽系中的一些數學奇聞”，《科學美國人》，第 108-112 頁{{citation}}: CS1 維護：日期和年份 (link)